5.1 矩形 精讲精练 原卷+解析卷

中小学教育资源及组卷应用平台 5.1 矩形 ( 知识精讲 ) 知识点01 矩形的性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形 2.性质： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． 知识点02 矩形的判定 矩形的判定： 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 有三个角是直角的四边形是矩形； 3. 对角线相等的平行四边形是矩形. ( 能力拓展 )考点01 矩形的性质 【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E． （1）求证：AC＝CE； （2）若DE＝6，CD＝8，求△AOB的周长． 【思路点拨】（1）根据矩形的性质求出AC＝BD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出四边形DECB是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AC＝CE即可； （2）根据平行四边形的性质可得BC＝DE＝6，然后根据勾股定理即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，BC∥AD， 即BC∥DE， ∵BD∥CE， ∴四边形DECB是平行四边形， ∴BD＝CE， ∴AC＝CE； （2）解：∵四边形DECB是平行四边形， ∴BC＝DE＝6， ∵AB＝CD＝8， ∴BD＝＝10， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA+OB＝BD＝10， ∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝10+8＝18． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AC＝BD和得出四边形DECB是平行四边形． 【即学即练1】．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为边BC上一点，且AB＝BE，∠EAO＝15°． （1）判断△AOB的形状并说明理由； （2）求出∠AEO的度数． 【思路点拨】（1）由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，由等腰直角三角形的性质可得∠BAE＝45°，即可求∠OAB＝60°，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可求∠BEO＝75°，即可求解． 【解析】解：（1）△AOB是等边三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵AB＝BE，∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝45°＝∠AEB， 又∵∠EAO＝15°， ∴∠OAB＝60°， ∴△AOB是等边三角形； （2）∵△AOB是等边三角形， ∴∠ABO＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∵BO＝AB＝BE， ∴∠BEO＝75°， ∴∠AEO＝30°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点02 矩形的判定 【典例2】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠AOE的度数． 【思路点拨】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形． （2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，求出∠BAE＝36°，则∠OBA＝∠OAB＝54°，即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEO＝∠DFO＝90°， 在△AEO和△DFO中， ， ∴△AEO≌△DFO（AAS）， ∴OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵AE⊥BD于点E， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAE：∠EAD＝2：3， ∴∠BAE＝36°， ∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°， ∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°． ∴∠AOE＝90°﹣∠EAO＝90°﹣18°＝72°． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【即学即练2】如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F ... ...