2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（线段周长问题）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 中小学教育资源及组卷应用平台 2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（线段周长问题） 1．综合运用：已知，抛物线如图1所示，其对称轴是． (1)①写出与的数量关系_____； ②证明：抛物线与直线有两个交点； (2)如图2，抛物线经过点，将此抛物线记为，把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线． ①求抛物线与轴的交点坐标； ②点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，连接，以点为圆心、的长为半径作．当与轴相切时，求点的坐标． 2．已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 3．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，求的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点A、B，其中点A的横坐标为，点B的横坐标为1，抛物线过点A、B．过A作轴交抛物线另一点为点C．以、长为边向上构造矩形． (1)求抛物线的解析式； (2)将矩形向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形，点C的对应点落在抛物线上． ①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； ②直线交抛物线于点P，交抛物线于点Q．当点为线段的中点时，求m的值； ③抛物线与边、分别相交于点M、N，点M、N在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标． 5．如图1，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，，轴，求周长的最大值； (3)如图2，连接，点P在抛物线上，且满足，求点P的坐标． 6．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值． (3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)分别求出，的值和直线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 9．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值 ... ...