中小学教育资源及组卷应用平台 1．圆 在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆． 圆心：固定的端点叫作圆心． 半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆． 2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． 4．圆周角 （1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交． （2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． （3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆内接四边形的对角互补． （6）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 5．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补． （2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 6．切线 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的判定有关的辅助线：①有公共点，连半径，证垂直．②无公共点，作垂直，证明与半径相等． （3）切线长定理 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 圆中容易混淆的“两组基本概念” 1．弦与直径： （1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦． （2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径． 2．弧与半圆： （1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆． （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆． 1．圆中求线段的长度 解题思路：将圆中有关线段的问题转化到直角三角形中解决． 解题方法：根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，连接半径，利用圆心到弦 2．圆与正多边形 垂线段、过弦端点的半径以及弦长的一半构造直角三角形，进而解决问题． 求圆内接正多边形的半径、边心距或边长时，通常从正多边形的中心向一边作垂线，连接半径构造直角三角形，综合运用垂径定理和勾股定理解决问题． 3．垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（ ... ...
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