5.3 正方形中的常用模型专项探究（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 正方形中的常用模型专项探究 模型一 正方形的“十字架”模型 【知识点睛】 【典题练习】 1．（2023 余杭区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先证明△CDF≌△BCE，得到∠BGC＝90°，利用面积法即可求出CG＝． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4， ∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4， 又∵DE＝AF＝1， ∴CE＝DF＝3， 在△CDF和△BCE中， ， ∴△CDF≌△BCE （SAS）， ∴∠DCF＝∠CBE， ∵∠DCF+∠BCF＝90°， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BGC＝90°， 在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3， ∴BE＝＝5， ∴BE CG＝BC CE， ∴CG＝＝＝． 故选：D． 2．（2023秋 沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（　　） A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45° 【分析】连接DQ，根据正方形的性质先证明△ADF≌△DCE，得出∠DCE＝α，DF＝CE，进而得出DQ＝PD，∠PDQ＝90°﹣2α，根据三角形的内角和表示出∠PQD即可求解． 【解答】解：连接DQ，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°， ∵AF＝DE， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α， ∵点P，Q分别是DF，CE的中点， ∴PD＝DF＝DQ＝CE， ∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α， ∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α， ∴∠PQD＝＝45°+α， ∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α， 故选：B． 3．（2023 鄞州区模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，BF⊥CE于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（　　） A．S△BAF B．S△BCF C．S△BCG D．S△FCG 【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠A＝90°，求得∠ABF＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到S△ABF＝S△BCE，根据三角形的面积的和差即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠A＝90°， ∵BF⊥CE， ∴∠BGC＝90°， ∴∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°， ∴∠ABF＝∠BCE， 在△ABF与△BCE中， ， ∴△ABF≌△BCE（ASA）， ∴S△ABF＝S△BCE， ∵S△BCF＝S正方形ABCD， ∴S△ABF+S△DCF＝S△BCE+S△DCF＝S正方形ABCD， ∴阴影部分面积和＝S△BCE+S△DCF﹣S△BCG＝S△BCF﹣S△BCG＝S△FCG， 故选：D． 4．（2023 双峰县三模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG．有以下结论： ①AE⊥DF； ②AH＝EH； ③CG∥AE； ④S四边形BEOF：S△AOF＝4． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据正方形的性质可得AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°，从而可证△DAF≌△ABE，进而可得∠BAE＝∠ADF，然后可得∠BAE+∠AFD＝90°，即可解答； ②根据正方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠DAC＝∠AEB，再利用折叠可得∠AEB＝∠AEG，进而可得∠DAE＝∠AEG，即可解答； ③由折叠得：∠AEB＝∠AEG＝（180°﹣∠GEC），GE＝GC，从而可得∠EGC＝∠ECG＝（180°﹣∠GEC），进而可得∠AEB＝∠GCE，即可解答； ④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，然后证明△AOF∽△ABE，利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°， ∴∠ADF+∠AFD＝90°， ∵点E，F分别是边BC，AB的中点， ∴AF＝AB，BE＝EC＝BC， ∴AF＝BE， ∴△DAF≌△ABE（SAS）， ∴∠BAE＝∠ADF， ∴∠BAE+∠AFD＝90°， ∴∠AOF＝180°﹣（∠BAE+∠AFD）＝90 ... ...