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课件网) 数 学 7.3.1 等比数列的概念 第7章 数列 拓展模块一（下册） 高等教育-出卷网- 第7章 数列 7.3.1 等比数列的概念 学习目标 知识目标 掌握等差数列的前n项和公式及推导过程；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 能力目标 培养学生的逻辑推理能力；培养学生分析问题，解决问题的能力． 情感目标 培养学生的辩证唯物主义思想，提高学生的数学修养. 核心素养 通过学习，逐步提升数学建模、数学运算、数学抽象和逻辑推理等核心． 创设情境，生成问题 活动 1 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有什么规律？ 调动思维，探究新知 活动 2 不难看出,这组数构成一个数列：9,81,729,8561…,我们也可以将其表示成9,92,93,94,….在这个数列中,从第二项起每项与它前一项的比都是9. 类似的数列还有32,16,8,4,…. 不难看出, 从第二项开始，每一项与它前一项的比都是. 调动思维，探究新知 活动 2 一般地,如果一个数列 an 从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时,就称这个数列为等比数列,这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q来表示． 如数列 9,81,729,6561,…为等比数列,其公比q=9；数列32,16，8,4，…是等比数列,公比q= . 调动思维，探究新知 活动 2 如果数列 an 是一个公比为q的等比数列,那么从第二项起,数列的每一项都等于它的前一项与公比的乘积，即 a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2 ， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 ， …… 因此，首项为a1、公比为q 的等比数列 an 的通项公式为 an=a1qn-1 (其中a1与q均不为0)． 探究与发现 当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，这个数列具有什么特征？ 巩固知识，典例练习 活动 3 典例1 在等比数列 an 中， a1=2，q=4，求an，a5． 解：根据等比数列通项公式an=a1 qn-1可知 an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1； 即 an= 22n-1 ． 因此，a5 = 22×5-1 =29=512． 注意：直接利用公式. 巩固知识，典例练习 活动 3 典例2 将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…． (1) 求这个数列的通项公式； (2) 求第5次对折后报纸的层数； (3) 问第几次对折之后报纸的层数是128？ 解： (1) 设这个数列为 an ,则a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为 an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2) 根据通项公式可知，a1=25=32，因此第5次对折之后的报纸的层数为32层. (3) 设第n次对折后报纸的层数是128,即an＝128,则由通项公式可知 2n=128，2n =27， 解得 n=7. 因此，第7次对折后报纸的层数是128. 巩固知识，典例练习 活动 3 典例3 在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项a1和公比q． 解：根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1可得 ②式除以①式，并整理得 解得 q=±2. 当q=2时，a1×23=36，解得 a1= 当q=-2时，a1×(-2)3=36，解得a1= 所以, a1= , q=2或 a1= , q=-2. 求解等比数列方程时常用的消元方法 巩固知识，典例练习 活动 3 典例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 分析：对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1，a1q，a1q2，也可以将它们设为，其中q为公比.若已知这三数的积，则将它们设为，更有利于计算. 巩固知识，典例练习 活动 3 典例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 将a=8代入①式，化简得 ③ ③式两边同时乘q，整理得 2q -5q+2=0， 解得 当q= 2 时，所求的三个数分别为4,8,16； 当q=时，所求的上数分别为16,8,4. 所以，这三个数为4,8,16或16,8,4. 解： 设这三个 ... ...
