中小学教育资源及组卷应用平台 2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】 专题5.7 菱形的判定证明专练（15道） 综合题（本卷共15道，总分60分） 1．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明: ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线, 相交于点， ， ∴四边形是菱形; （2）∵四边形是矩形, ， ∴， ， ∵四边形是菱形, ∴菱形的面积． 2．如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 3．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．如图，在中，点E是对角线上一点，过点E作，交边于点P，交边于点Q，连接． (1)当点E是的中点时，求证：四边形是菱形； (2)求证：四边形的面积为． (3)若，，则的最小值为_____．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴ ∴ 即四边形的面积为． （3）过点A作且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， 将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小， ∵，， ∴， 在中，； 即的最小值为． 故答案是：． 5．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是每秒个单位长度，连接，，设点，运动的时间为秒． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)整个运动当中，线段扫过的面积是多少？ 【答案】(1)8(2)四边形为菱形，理由见解析(3)64 【详解】（1）解：在矩形中，，， ，． 由已知可得， ∴， 在矩形中，，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， 解得， 当时，四边形是矩形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 当时，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴四边形为菱形； （3）解：连接，，与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积，． ， 整个运动当中，线段扫过的面积 ． 6．如图，中，D是上一点，于点E，F是的中点，于点G，与交于点H，若平分，连接． (1)判断形状，并说明理由； (2)猜想线段是否成立，若不成立，请写出正确的线段关系，若成立，请写出证明过程； (3)若，探究四边形是否为特殊平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)是直角三角形，见解析(2)猜想成立，见解析 (3)四边形是菱形，见解析 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ， ， 平分， ， ， ， 又， ， 是直角三角形； （2）猜想成立 证明：连接，过点G作， 平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ，即， 在中，F是的中点， ， 又， 为中点， 是线段的垂直平分线， ∵点G在上， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， ， 在中，， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 7．如图，在中 ... ...
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