教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 八年级 学期 春季 课题 18.2.3正方形 教学目标 1.掌握正方形的概念。 2.掌握正方形的判定。 3.了解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系。 4.掌握正方形的性质定理：正方形的四个角是直角，四条边相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 5.会用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题。 教学内容 教学重点： 正方形的判定和性质。 教学难点： 正方形的判定和性质归纳。 例2用到正方形的性质较多，如何选出有用的性质是证明的难点。 教学过程 一、问题驱动 我们已经学过哪些特殊的平行四边形？请同学们回顾一下什么是矩形？什么是菱形？矩形还能够特殊吗？是什么图形？有特殊的菱形吗？是什么图形？请同学们合作探究，后交流。 二、新知探究 （一）正方形判定方法探究 1.特殊的矩形：有一条边相等的矩形是正方形。（正方形的判定1） 2.特殊的菱形：有一个角是直角的菱形是正方形。（正方形的判定2） 3.有一条边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（正方形的定义） 请你来判断：（1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ） （2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形。（ ） （3）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形。（ ） （4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形。（ ） （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（ ） 例题演练 例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线， DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F . 求证：四边形CFDE是正方形. 思路分析1：矩形+一组邻边相等→正方形 思路分析2：菱形+一个直角→正方形 请同学们写出证明过程。 证明：∵DE⊥BE，DF⊥AC， ∴∠DEC=∠DFC=90°. 又∵∠ACB=90°， ∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD是∠ACB的平分线， ∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴四边形CFDE是正方形. （二）正方形的性质探究 正方形矩有哪些性质呢？请你把它们写下出来，并和同学们做一下交流，然后证明其中的一些结论。交流后师生归纳： 例题演练 新知应用 例2 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O。 求证：△ABO,△BCO，△COD，△DOA是全等的等腰三角形。 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD,AC=BD,AO=OC，BO=OD.（正方形的对角线相等，且互相垂直平分） ∴AO=OC=BO=OD, ∴ △ABO≌△BCO ≌ △COD ≌ △DOA（SAS）,并且它们都是等腰直角三角形。 思考：图中共有多少个等腰直角三角形呢？ 答：8个,分别是△ABO,△BCO, △COD,△DOA,△ADC,△DCB, △CBA,△BAD. （三）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下，并列表或用框图标表示这些关系。 三、应用新知，巩固练习 1.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m,这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 解：∵∠B=Rt∠， ∴BC2+BE2=EC2， ∴BC2=EC2-BE2=302-102=800 ∴正方形ABCD的面积为800平方米。 ∵AC2=BC2+AB2=800+800=1600, ∴对角线AC=40m 2.已知，如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足，连结AG，EF. 求证：AG=EF 证明：连结CG. 在△AGD和△CGD中， ∠ADG=∠CDG（正方形的对角线平分一组对角） DG=DG, AD=CD（正方形的四条边相等） ∴△AGD≌△CGD（SAS） ∴ AG=CG, ∵ GE⊥CD, GF⊥BC, ∴ ∠GFC= ∠GEC =90° 又∵ ∠BCD =90° ∴ 四边形FCEG是矩形（有三个角是直角的四边形是矩 ... ...
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