《3.1.2椭圆的几何性质》教学设计 学习目标 知识 能力与素养 理解标准方程所表示的椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 学生的数学思维能力得到提高． 学习重难点 重点 难点 椭圆的性质． 椭圆离心率概念． 教材分析 本节课是通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同进也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫. 学情分析 学生已经学习了椭圆定义和标准方程，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力． 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 情境与问题 在基础模块,我们利用直线和圆的标准方程得到了圆的性质,是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？ 【设计意图】提示学生数形结合. （二）调动思维，探究新知 下面以为例,探究椭圆的几何性质. 1．范围 从方程中可以看到： 即 －a≤x≤a，－b≤y≤b． 这说明椭圆位于四条直线所围成的矩形内． 这说明,椭圆位于四条直线x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形框内,如图所示. 2.对称性 在椭圆的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于x轴对称． 同理，将x换成－x，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点也在椭圆上；将x换成－x，y换成－y，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于坐标原点的对称点也在椭圆上． 由此可知，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点叫做椭圆的对称中心（简称中心）． 3.顶点 在方程中，令y = 0，得x = ±a，说明椭圆与x轴有两个交点和；同样，令x = 0，得y = ±b，说明椭圆与x轴有两个交点和． 椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点．因此四个点是椭圆的四个顶点．线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别表示椭圆的半长轴长和半短轴长． 4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作e．即 ． 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1．当e增大逐渐接近1的时候，c逐渐接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，当e减小逐渐接近0的时候，c逐渐接近0，从而逐渐接近a，此时椭圆逐渐接近于圆． 同样，可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质. 探究与发现 为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？ 可以降低分散液体对罐壁的压力，在装同体积下，同强度，椭圆型设计上可以缩小壁厚，减少材料。同时，也提高行车平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就没办法把低下的油放干净，而且行车时油对壁的冲击很大. 【设计意图】椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神. （五）巩固知识，典例练习 【典例1】求椭圆16x +25y =400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解: 将所给的方程化为标准方程，得 这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并且a = 5，b = 4． 因为 ． 所以椭圆的长轴长2a = 10，短轴长2b = 8，离心率焦点坐标为顶点坐标为 【典例2】分别求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）经过点M(4，0) 、N(0，－3)； （2）短轴长为6，离心率为． 解: （1）因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以,点M、N就是椭圆的顶点,并且长半轴长a=4,短半轴长b=3. 由于椭圆的长轴在x轴上,故其焦点在x轴上.于是,所求椭圆的标准方程为 （2）因 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
