《4.3.2 直线与平面垂直》教学设计 学习目标 知识 能力与素养 （1）知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理； （2）能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直，能根据性质定理来证明直线与直线平行． （1）画出线面垂直关系的直观图； （2）利用线面垂直的判定与性质，解释生活空间的一些实例； （3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 学习重难点 重点 难点 直线与平面垂直的判定与性质． 直线与平面垂直的判定与性质． 教材分析 本节课主要学习直线和平面垂直的定义，判定定理以及初步应用，本节内容是本章中研究直线、平面平行和垂直关系中重要的一节. 学情分析 学生在初中对平面几何平行线及前阶段空间平行公理的学习和研究，已经具备了较为初步的空间认知和一定的操作实验能力，掌握了研究类似问题的一些基本方法，但是学生的抽象概括能力，空间想象力还有待提高，线面垂直的定义比较抽象，要让学生体会“与平面内任何一条直线”有一定困难，所以，适当的引导，相应的练习有助于认识问题的本质． 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 4.3.2 直线与平面垂直 （一）创设情境，生成问题 某型号无人机如图所示,其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴AB均垂直,垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α,显然,无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问,平面α与旋轴AB之间有怎样的位置关系？ 【设计意图】从线面垂直的形成过程引入 （二）调动思维，探究新知 容易看出,平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面α内不过点B的任意一条直线,它一定与平面α内过点B的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知,这条直线也与旋转轴AB 垂直.因此,平面α内的每一条直线都与AB 垂直. 据此,有如下定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线,这个平面称为这条直线的垂面,直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α. 如图所示,若l⊥α,m α,根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法. 画竖直的直线与水 平平面垂直时,应 将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直． 在日常生活和生产中,常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如,国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是,判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的. 经过观察研究,人们发现以下判定直线与平面垂直的方法： 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. 如图所示,若m、n是平面α内的两条相交直线,且直线l⊥m, l⊥n,则l⊥α. 【设计意图】通过线线垂直来说明线面垂直. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD,如图所示.求证：BD⊥AC. 证明：设BD的中点为O,连接 AO 、CO. 因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD,CO ⊥BD. 又AO∩CO=O,且AO、CO 平面AOC,故BD⊥平面AOC. 根据直线与平面垂直的定义,由AC 平面AOC,可知BD⊥AC. 【设计意图】引导学生在空间怎样通过做辅助线来建立辅助面. 【典例2】证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知: m∥n,m⊥α,如图所示. 求证: n⊥α. 证明:在平面α内任取两条相交直线c和d ,因为 m⊥α,c α, d α,所以m⊥c,m⊥d. 又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根据直线与平面垂直的判定定理,由c与d相交,n⊥α. 【设计意图】巩固线面垂直定理的同时，介绍了线面垂直的另一种判定方法，可以看作是直线与平面垂直的另一个判定定理. 温馨提示 例2是直线与平面垂直的另一个判定定理. 可以证明,例5中所述命题的逆命题也成 ... ...
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