《4.3.3 直线与平面所成的角》教学设计 学习目标 知识 能力与素养 知道直线在平面内的射影的定义，知道直线与平面所成角的定义，会找出直线在平面内的射影，会解决直线与平面所成角的简单问题. （1）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维； （2）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用． 学习重难点 重点 难点 直线与平面所成角的求法 直线与平面所成角的求法 教材分析 本节课学习直线在平面内的射影的定义，直线与平面所成角的定义，找出直线在平面内的射影，解决直线与平面所成角的简单问题，为后面学习二面角打下基础. 学情分析 学生已学习了直线与平面平行，直线与平面垂直的判定与性质，为学习线面所成角做了准备． 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型,依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示,斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交,但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？ 【设计意图】感受直线与平面所成角的情况，渗透课程思政 （二）调动思维，探究新知 如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影. 如图所示, 直线m是平面α的斜线, 点P为斜足, A∈m且AB⊥α, 垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线 AP 与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度. 一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角. 规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为.于是,直线与平面所成的角的范围为 【设计意图】将线面问题转化为线线问题，降维解决. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. (1) 找出BC1在底面ABCD上的射影； (2) 求BC1与底面ABCD所成角的大小； (3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值. 解：(1)因为正方体ABCD-A B C D 的各个面都是正方形 所以 CC ⊥DC,CC ⊥BC,且DC∩BC=C,从而CC ⊥平面ABCD且垂足为C. 又BC ∩平面ABCD=B, 故BC是BC1在平面ABCD上的射影. (2)由(1)可知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C BC. 因为BC1是正方形BCC B1的对角线，所以∠C BC=于是，BC1与底面ABCD所成的角为 ( 3 ) 在 正 方 体ABCD-A B C D 中，因为DD ⊥AD,DD ⊥DC, 且 AD∩DC=D, 所以DD ⊥底面 ABCD,从而BD是BD 在平面ABCD上的射影，且DD ⊥BD. 因为DD =a,BD=√2α,所以 即 BD 与平面ABCD 所成的角的正切值 因为DD1=a, BD1=a, 所以tanD1BD=, 即 BD 与底面ABCD 所成角的正切值是 【设计意图】在学生熟悉的正方体中解决线面所成角的概念，归纳求出线面所成角的解题步骤，“找，证，求”. 【典例2】中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示, 为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响, 牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点C的距离是2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成的角为60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离. 解：由题意可知电杆与地面是垂直的,所以 BC⊥AC, 且AC是AB在地面上的射影,于是∠BAC= 60°. 在RtΔABC中, 因为AC=2.5m, 所以BC=ACtan∠BAC=m 因此,牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离m 【设计意图】线面所成角的实际应用，同时实施课程思政 （四）巩固练习，提升素养 1.观察教室墙面，从中找出直线与平面之间三种位置关系的情形. 2. 画 出 符 合 下 列 描 述 的 一 个 ... ...
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