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课件网) 第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 勾股定理逆定理的应用. 勾股定理逆定理的证明. 回顾旧知 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)： 直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 A B C b a c 已知其中任意两边 勾股定理的主要作用是 ： ① 直角三角形中， 可以求出第三边. 如果知道一边的长度， 和另外两边的关系时， ② 在直角三角形中， 可以运用勾股定理列方程来求另外两边. 情境引入 同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 知识讲解 知识点1 勾股定理的逆定理 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体. 问题4 据此你有什么猜想呢 由上面几个例子，我们猜想： 命题 那么这个三角形是直角三角形. 两边的平方和 如果三角形 等于第三边的平方， 已知： 求证： C'A'=b C B A A' B' C' b a c b a 且 a2+b2=c2 在△ABC中， AB=c， BC=a， CA=b， △ABC是直角三角形 证明命题 证明： 作△A'B'C'， 使 ∠C'=90°， B'C'=a， 则有 A'B'2 = a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A'B'2 =c2 ∵ 边长取正值 ∴ A'B'=c 在△ABC和△A'B'C'中 BC=B'C'=a CA=C'A'=b AB=A'B'=c ∵ ∴ △ABC ≌ △A'B'C' ∴ ∠ C= ∠ C' ∴ ∠C= 90° （直角三角形的定义） （SSS） (全等三角形对应角相等） ∴ △ABC是直角三角形 c 那么这个三角形是直角三角形. 那么这个三角形是直角三角形. 两边的平方和 归纳总结 勾股定理的逆定理 如果三角形 等于第三边的平方， a2 + b2 = c2， 即 如果三角形的三边长a、b、c 满足 C B A b c a 几何语言： ∴ △ABC 是直角三角形， ∵ 在△ABC中， a2+b2=c2 且 ∠C=90° (勾股定理的逆定理) 勾股定理逆定理的作用： 判定一个三角形是不是直角三角形． 例1 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15. 分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 解：(1) ∵ 152+82 =225+64=289， 172 =289， ∴ 152+82 =172. ∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形． 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数． 解：(2) ∵132+142 =169+196=365， 152 =225， ∴132+142 ≠152. ∴这个三角形不是直角三角形． 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ; (3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ . 是 是 不是 ∠A=90° ∠C=90° (2) a=1 b=1 c= ____ _____ ; 试一试 知识点2 利用勾股定理的逆定理解决实际问题 例 ... ...
