2.5 直线与圆的位置关系 2.5.2 圆的切线 第2课时 切线的性质 课件 (共21张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(课件网) 第2章 圆 2.5.2 圆的切线 第2课时 切线的性质 2.5 直线与圆的位置关系 1．理解切线的性质定理的证明过程. 2．区分切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用. 学习目标 重难点：切线的性质定理的证明过程及其应用. 知识回顾 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时， 我们说这条直线是圆的切线; 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r )时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d O O 证明切线时常用的辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课时导入 动脑筋 如图，如果直线 l 是☉O 的切线，A 为切点，那么切线 l 和半径 OA 垂直吗？ A l O 我用量角器量得切线 l 与半径OA所成的角为 90°，即切线 l 与半径 OA 垂直. 下面我们用反证法来证明这个结论. 假设 l 与半径 OA 不垂直， 则过圆心 O 作 OM ⊥ l 于点 M， 由于垂线段最短，可得 OM ＜ OA， 即圆心 O 到直线 l 的距离小于半径， ∴ 直线 l 与☉O 相交， 这与已知“ l 是☉O 的切线”矛盾， ∴ 假设不成立，即 l ⊥OA. M A l O 知识讲解 A l O 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径． 直线 l 是☉O 的切线 A 是切点 直线 l ⊥ OA 切线的性质定理的推论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 例 1 如图，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D. 求证：AC 平分 ∠DAB. 证明：连接 OC，如图. ∴OC⊥CD. 又∵ AD⊥CD， ∴ OC // AD，∴ ∠ACO = ∠CAD. ∵ OC = OA， ∴ ∠CAO = ∠ACO. ∴ ∠CAD = ∠CAO， 故 AC 平分∠DAB. ∵CD 是☉O 的切线， A B O C D 利用切线的性质解题时，往往需要添加辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. A B O C D 知识讲解 l1 O B A l2 证明：经过直径两端点的切线互相平行. 已知：如图，AB 是☉O 的直径，l1，l2 分别是经过点 A，B 的切线. 求证：l1 // l2. 证明：∵OA 是☉O 的半径，l1 是过点 A 的切线， ∴ l1 ⊥ OA. 同理 l2⊥ OB， ∴ l1 ⊥ AB，且 l2⊥ AB. ∴ l1 // l2 . 例 2 随 堂 小 测 1.如图，AB 是☉O 的直径，BC 与☉O 相切于点 B，AC 交☉O 于点 D，若 ∠ACB = 50°，则 ∠BOD 等于(　　) A．40° B．50° C．60° D．80° D 解：∵BC是☉O的切线，∴∠ABC = 90°， ∴∠A = 90°-∠ACB = 90°-50°= 40°. 由圆周角定理，得∠BOD = 2∠A = 80°. 2.如图，AB 是☉O 的直径，MN 是☉O的切线，切点为N，如果∠MNB = 52°，那么 ∠NOA 的度数为( ) A A．76° B．56° C．54° D．52° 解：∵ MN 是☉O 的切线， ∴ ON⊥NM，∴ ∠ONM = 90°， ∴ ∠ONB = 90°-∠MNB = 90°-52°= 38°. ∵ ON = OB， ∴ ∠B = ∠ONB = 38°， ∴ ∠NOA = 2∠B = 76°． 有切线，用性质 3.如图，AB 是☉O 的直径，CD 是☉O 的切线，切点为 D，CD 与 AB 的延长线交于点 C，∠A = 30°，给出下面三个结论： ① AD = CD；② BD = BC；③ AB = 2BC. 其中正确结论的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 A 4.如图，AB 与☉O 切于点 C，OA=OB，若☉O 的半径为 8 cm，AB = 10 cm，则 OA 的长为 cm. 5.如图，在 Rt△AOB 中，OA = OB = 3，☉O 的半径为1，点 P是 AB 边上的动点，过点 P 作☉O 的一条切线 PQ (点 Q 为切点)，则切线 PQ 的最小值为 . 解：如图，连接 OP，OQ． ∵ PQ 是☉O 的切线，∴ OQ⊥PQ. ∵ PQ2 = OP2 - OQ2， ∴ 当 PO⊥AB 时，线段 PQ 最短. ∵ 在 Rt△AOB 中，OA = OB = 3， ∴ AB ... ...