(课件网) 第2章 圆 *2.3 垂径定理 1．探索并证明垂径定理. 2．运用垂径定理解决一些有关证明、计算问题.（重难点） 学习目标 知识回顾 问题1 圆是轴对称图形吗？ 问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形 其对称轴是直径所在的直线 无数条 课时导入 问题3 你知道赵州桥吗？它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB，垂足为 P，再将纸片沿着直径 CD 对折，比较 AP 与 PB， 与 ，你能发现什么结论？ · O A B D P C 动脑筋 线段: AP = BP · O A B D P C 弧: ， 理由如下： 把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与 BP 重合， 和 ， 与 重合． 换一种方法来解决上面的问题： · O A B D C P 已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD，垂足为 P. 求证：AP = BP， ， . 证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA = OB， 即△AOB 是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP = BP， ∠AOC = ∠BOC. 从而 ∠AOD = ∠BOD. 知识讲解 垂径定理： · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP = BP， ， (结论) 推导格式： 例1 如图，☉O 的弦 AB = 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC = 2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA，∵ CE⊥AB 于D， ∴ 设 OC = x cm，则 OD = x - 2， 根据勾股定理，得 解得 x = 5， 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + (x - 2)2， 例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图，☉O 中弦 AB//CD，求证： = . M C D A B O N 证明：作直径 MN⊥AB. ∵AB//CD，∴MN⊥CD. 则 (垂直弦的直径平分弦所对的弧) ∴ 如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ① 过圆心 ；② 垂直于弦； ③ 平分弦； ④ 平分弦所对的优弧 ； ⑤ 平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 探究 已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦(不是直径)，与 CD 交于点 P，且 P 是 AB 的中点. 求证：AB⊥CD， . · O A B D C P 证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA=OB， 即 △AOB 是等腰三角形. ∵P 是 AB 的中点， ∴AB⊥CD. 即AP = BP， ∵ CD 是直径，CD⊥AB， ∴ 知识讲解 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论： · O A B C D 圆的两条直径是互相平分的. 特别说明： 你能利用垂径定理解决问题3中求赵州桥主桥拱半径的问题吗 A B O C D 解：如图，用 AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为 D，与弧 AB 交于点 C，则 D是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高. ∴AB = 37 m，CD = 7.23 m， ∴ AD= AB = 18.5 m，OD = OC - CD = R - 7.23 . 解得R ≈ 27.3 (m). 即主桥拱半径约为 27.3 m. R2 = 18.52 + ( R - 7.23 )2 ∵ A B O C D 在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d(圆心到弦的距离)，弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h = r O A B C · 随 堂 小 测 1.如图，OE⊥AB 于 E，若 ☉O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. 16 O A B E · 2.如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形 ... ...
