【赢在中考●浙江专版】中考二轮数学压轴题强化训练选填题：1.14 路径与最值04 瓜豆原理（原卷版＋解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题九 路径与最值04 瓜豆原理选填题压轴题 在几何学中，瓜豆原理描述的是两个动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，那么这两个动点的运动路径就会相同。这种原理的应用非常广泛，例如当主动点在圆周上运动时，从动点的轨迹也是一个圆。这个原理涉及到的知识点包括相似三角形的性质、三角形的两边之和大于第三边以及点到直线之间的距离垂线。 解题时，通常需要按照一定的步骤来进行。首先，找出主动点的轨迹；其次，找出从动点与主动点的关系；再次，找出主动点的起点和终点；然后，通过相似三角形来确定从动点的轨迹；最后，根据轨迹来确定点线、点圆的最值。 瓜豆原理可以分为两种常见类型：一种是主动点和从动点的轨迹都是直线或直线上的一部分；另一种是主动点和从动点的轨迹都是圆或圆弧。在第一种情况下，两个动点与定点连线的夹角一定，且与该定点距离之比一定，因此它们的轨迹形状相同。在第二种情况下，主动点在圆周上运动，从动点的轨迹也是一个圆。 题型一 【“瓜豆原理”之轨迹为直线题型】 【典例指引1】（2024·浙江丽水·一模）如图，等边的边长为，动点D从点B出发，在线段上运动，以为边作，其中，，则在点D从点B开始移动至点C的过程中，点E移动的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将绕点旋转90度，得到，连接，证明，得到，进而得到点在射线上运动，进行求解即可． 【详解】解：将绕点旋转90度，得到，连接，则：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边边长为6， ∴，， ∴， ∴到点在射线上运动， 当点与点重合时，点与点重合， 当点与点重合时，如图，此时， ∴点运动的路径为的长， ∵， ∴此时为等边三角形， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。 【变式训练】（2023·浙江省）如图，是边长为6的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为(　　) A．6 B．3 C． D．3 【答案】B 【分析】取的中点，连结，当点在处时，，点在处时，点与点重合．则点所经过的路径的长等于，进而可求出点所经过的路径长． 【详解】解：如图，取的中点，连结， ， ，， ， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 又点在处时，， 点在处时，点与点重合， 点所经过的路径的长为从点运动的路径长． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及和运动轨迹有关的知识。 题型二 【“瓜豆原理”之轨迹为圆题型】 【典例指引2】（2023·浙江衢州·模拟测试）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（　 ） A．π B．π C．π D．2 【答案】B 【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用勾股定理得到AB的长，进而可求出OC，OP的长，求得∠CMO=90°，于是得到点M在以OC为直径的圆上，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 【详解】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图， ∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2， ∴AB=BC=4， ∴OC=OP=AB=2， ∵∠ACB=90°， ∴C在⊙O上， ∵M为PC的中点， ∴OM⊥PC， ∴∠CMO=90°， ∴点M在以OC为直径的圆上， P点在A点时，M点在E点；P点在B点时，M点在F点． ∵O是AB中点，E是AC中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE//BC，OE=BC=， ∴OE⊥AC， 同理OF⊥BC，OF=， ∴四边形CEOF是矩形， ∵OE=OF， ∴四边形CEOF为正方形，EF=OC=2， ∴M点的路径为以EF为直径的半圆， ∴点M运动的路径长=×π×2=π． 故选：B． 【点睛】本题考查 ... ...