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课件网) 概率论与数理统计 x4: 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 1 背景 2 两个事件的独立性 3 三个及三个以上事件的独立性 x4: 随机事件的独立性 x4: 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 在上节中, 我们介绍了条件概率P(AjB), 那么一个很自然的问题 是: 在什么情况下, P(AjB) = P(A) 即事件B 的发生对事件A没有 影响, 这就是本节所介绍的事件的独立性. 我们先看如下一个简 单的例子. 分别抛两枚硬币, 以A表示事件“硬币甲出现正面", B表示事件“硬 币乙出现正面", 试计算P(A); P(B); P(AB); P(AjB). 背景 x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 例 在上节中, 我们介绍了条件概率P(AjB), 那么一个很自然的问题 是: 在什么情况下, P(AjB) = P(A) 即事件B 的发生对事件A没有 影响, 这就是本节所介绍的事件的独立性. 我们先看如下一个简 单的例子. 例 分别抛两枚硬币, 以A表示事件“硬币甲出现正面", B表示事件“硬 币乙出现正面", 试计算P(A); P(B); P(AB); P(AjB). 背景 x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 由题意知, 该试验的样本空间为 S = {(正, 正); (正, 反); (反, 正); (反, 反)}. 这是一个古典概型, 每个基本事件发生是概率都是 , 且 A = {(正, 正); (正, 反)}; B = {(正, 正); (反, 正)}; AB = {(正, 正)} 因此P(A) = P(B) = ; P(AB) = ; P(AjB) = . 背景 x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 解 在这里我们可以看到P(AjB) = P(A), 也即P(AB) = P(A)P(B). 事 实上, 分别抛两枚硬币, 硬币乙出现正面与否与硬币甲出现哪一 面之间本来就没有影响, 这种没有影响, 称之为独立性. 背景 x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 解 设A; B是事件, 若A; B满足等式 P(AB) = P(A)P(B); 则称事件A与B相互独立, 简称为A与B独立. 两个事件的独立性 x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 定义 (1) (1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件 是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响; (2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互独立. 即这 四组事件中只要有一组是独立的, 其它三组也都是独立的; 两个事件的独立性 (4) 若P(A) = 1, 则任何事件B都与A独立. (3) 若P(A) = 0, 则任何事件B都与A独立; x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 定理 (1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件 是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响; (2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互独立. 即这 四组事件中只要有一组是独立的, 其它三组也都是独立的; 两个事件的独立性 (4) 若P(A) = 1, 则任何事件B都与A独立. (3) 若P(A) = 0, 则任何事件B都与A独立; x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 定理 (1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件 是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响; (2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互独立. 即这 四组事件中只要有一组是独立的, 其它三组也都是独立的; 两个事件的独立性 (4) 若P(A) = 1, 则任何事件B都与A独立. (3) 若P(A) = 0, 则任何事件B都与A独立; x4 . 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性 定理 (1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件 是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响; (2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互 ... ...
