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课件网) 概率论与数理统计 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 1 边缘分布 2 随机变量的独立性 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 对于二维随机变量(X; Y), 若我们知道了(X; Y)的分布(泛指分布函 数, 分布律或密度函数), 则随机变量X和Y各自的分布是什么 他 们与(X; Y) 的分布是什么关系, 以及随机变量X 和Y 之间的关系 怎么来描述 这就是本节所介绍的随机变量的边缘分布及独立 性. 设随机变量(X; Y)的分布函数为F(x; y), 随机变量X和Y各自的分 布函数称为(X; Y) 关于X和Y的边缘分布函数, 分别记 作FX(x); FY(y). 边缘分布的定义 x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 定义 对于二维随机变量(X; Y), 若我们知道了(X; Y)的分布(泛指分布函 数, 分布律或密度函数), 则随机变量X和Y各自的分布是什么 他 们与(X; Y) 的分布是什么关系, 以及随机变量X 和Y 之间的关系 怎么来描述 这就是本节所介绍的随机变量的边缘分布及独立 性. 设随机变量(X; Y)的分布函数为F(x; y), 随机变量X和Y各自的分 布函数称为(X; Y) 关于X和Y的边缘分布函数, 分别记 作FX(x); FY(y). 边缘分布的定义 x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 定义 由于fX < +1g = fY < +1g = S, 此X和Y的边缘分布函数分 别为 FX(x) = P(X x) = P(fX xg \ S) = P(X x; Y < +1) = F(x; +1); FY(y) = P(Y y) = P(fY yg \ S) = P(X < +1; Y y) = F(+1; y); 其中F(x; +1) = y F(x; y), F(+1; y) = x F(x; y). 边缘分布函数 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 对于离散型随机变量(X; Y), 设(X; Y)的分布律为 P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1: 则随机变量X的所有可能取值为xi ; i 1, 随机变量Y的所有可能 取值为yj ;j 1, 此X与Y均是离散型随机变量. 边缘分布律 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 对于离散型随机变量(X; Y), 设(X; Y)的分布律为 P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1: 则随机变量X的所有可能取值为xi ; i 1, 随机变量Y的所有可能 取值为yj ;j 1, 此X与Y均是离散型随机变量. 边缘分布律 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 注意到此时n fY = yjg = S, 故对A i ≥ 1, j≥1 P(X = xi) = P(fX = xig \ S) = P fX = xig \ = P = P(X = xi ; Y = yj) 兰 pi · : (1) 显然, pi · ≥ 0; i ≥ 1且 pi · = 1, 故(1)式是随机变量X的分布律. 边缘分布律 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 类似地, 对Aj ≥ 1, P(Y = yj) = P(fY = yjg \ S) = P fY = yjg \ = P = P(X = xi ; Y = yj) 兰 p ·j : (2) 且(2)式是随机变量Y的分布律. 边缘分布律 x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 HH Y H X HH y1 y2 · · · yj · · · P(X = xi) x1 p11 p12 · · · p1j · · · p1 · x2 p21 p22 · · · p2j · · · p2 · . . . . . . . . . . . . . . . xi pi1 pi1 · · · pij · · · pi · . . . . . . . . . . . . . . . P(Y = yj) p ·1 p ·2 · · · p ·j · · · 上述表格中J X和Y的分布律在联合分布律表格的边缘上J 因此J 将(1)式和(2) 式分别称为X和Y的边缘分布律. 边缘分布律 x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布 随机变量的独立性 我们以如下表格的形式列出上述分布律. 对于连续型随机变量(X; Y), 设(X; Y)的密度函数为f (x; y), 则有 FX(x) = F(x; +1) = lx l+ 1f (u; v)dudv = lx （l+ 1f (u; v)dv）du: 显然, l f (u; v)dv ≥ 0, 故X为连 ... ...
