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课件网) 概率论与数理统计 x4: 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 概率论与数理统计 1 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 均值μ的置信区间 方差σ2 的置信区间 2 两个正态总体N(μ 1; σ ); N(μ2 ; σ )的情况. 均值差μ 1 - μ2的置信区间 方差比σ21/σ22 的置信区间 2 2 1 2 4: 正态总体均值与方差的区间估计 x4: 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 概率论与数理统计 设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为取自正态总体X N(μ; σ2 )的样本, X; S2分别 是样本均值和样本方差, 给定置信水平为1 — α; 0 < α < 1. x4: 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 均值μ的置信区间 方差σ2 的置信区间 概率论与数理统计 (1) σ2 已知. 从上节的例我们已经得到μ的一个置信水平为1 - α的 置信区间为 （X - ; X + ) : (1) x4: 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 均值μ的置信区间 方差σ2 的置信区间 概率论与数理统计 且右边的分布t (n - 1)不依赖于任何未知参数. 因此, 选 取X - μ 作为枢轴量可得 P {-t /2(n - 1) < < t /2(n - 1)} = 1 - α, (2) σ2 未知. 此时不能用(1)式给出的区间, 因其中含有未知参数σ . 考虑到S2是σ2 的无偏估计量, 由于 x4 . 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 均值μ的置信区间 方差σ2 的置信区间 t (n - 1), (2) S/pn S/pn X - μ 概率论与数理统计 即 P {X - t /2(n - 1) < μ < X + t /2(n - 1)} = 1 - α: 于是, 得到μ的ò个置信水平为1 - α的置信区间为 （X - t /2(n - 1); X + t /2(n - 1)）: (3) x4: 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 均值μ的置信区间 方差σ2 的置信区间 概率论与数理统计 某电子元件的寿命( 单位: h) 服从正态分布N(μ, σ2 )J 随机抽查 了9 个元件J 测得样本均值x = 1500(h)J 样本标准差s = 14(h)J 试 求总体均值μ 的置信水平为99%的置信区间. 在实际问题中J 总体方差未知的情况居多J 故这种情形的区间估 计更有实用价值J 下面我们看两个具体的例子. 例 x4 . 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 均值μ的置信区间 方差σ2 的置信区间 概率论与数理统计 某电子元件的寿命( 单位: h) 服从正态分布N(μ, σ2 )J 随机抽查 了9 个元件J 测得样本均值x = 1500(h)J 样本标准差s = 14(h)J 试 求总体均值μ 的置信水平为99%的置信区间. 在实际问题中J 总体方差未知的情况居多J 故这种情形的区间估 计更有实用价值J 下面我们看两个具体的例子. x4 . 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正态总体N(μ1 ; σ ) ; N(μ2 ; σ )的情况. 2 2 1 2 均值μ的置信区间 方差σ2 的置信区间 例 概率论与数理统计 这里n = 9, 1 - α = 0:99; = 0:005, 查t 分布表得 tα/2(n - 1) = t0:005(8) = 3:3554; 于是 x - tα/2(n - 1) 1484:34; x + tα/2(n - 1) 1515:66: 故所求总体均值μ的置信区间为(1484:34; 1515:66). x4: 正态总体均值与方差的区间估计 单个正态总体N(μ; σ2 )的情况. 两个正 ... ...
