中小学教育资源及组卷应用平台 分式的运算6大题型 【知识点1 分式的加减】 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 【题型1 分式的加减】 【例1】（2023春 盐城月考）化简： （1）； （2）． 【变式1-1】当m＞﹣3时，比较与的大小． 【变式1-2】（2023 乐山）已知，求A、B的值． 【变式1-3】（2023春 河南期末）若a＞0，M，N （1）当a＝1时，M＝ ，N＝ ；当a＝3时，M＝ ，N＝ ； （2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想． 【题型2 分式与整式的混合运算 】 【例2】（2023 嘉兴一模）计算x+2时，两位同学的解法如下： 解法一：x+2 解法二：x+2 （1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”． （2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 【变式2-1】（2023 梧州）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）． 【变式2-2】（2023秋 昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题． 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：， ． 解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【变式2-3】（2023春 玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：xx﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）假分式可化为带分式 形式； （2）利用分离常数法，求分式的取值范围； （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11，则m2+n2+mn的最小值为 ． 【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 2.除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3.分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4.分式的混合运算：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。 【题型3 分式的混合运算】 【例3】（2023秋 莱芜区期中）计算： （1）（ab﹣b2） ； （2）（x﹣1）． 【变式3-1】（2023 榆阳区模拟）化简：（x﹣1）． 【变式3-2】（2023 南京）计算． 【变式3-3】（2023 宛城区二模）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图： （﹣a+1） （1）求被手遮 ... ...
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