中小学教育资源及组卷应用平台 分式方程6大题型 【知识点1 分式方程】 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程 （2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。 （3）分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 ②解整式方程 ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 ④作答 【题型1 解分式方程（基本法）】 【例1】（2023春 碑林区校级月考）解方程： （1）； （2）1． 【变式1-1】（2023 潍坊）若x＜2，且|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝ ． 【变式1-2】（2023 宜都市一模）解方程：0． 【变式1-3】（2023 北碚区校级开学）解分式方程： （1）． （2）． 【题型2 解分式方程（新定义问题）】 【例2】（2023春 宝安区期末）定义新运算：a#b，例如2#3，则方程x#2＝1的解为 ． 【变式2-1】（2023 怀化）定义a b＝2a，则方程3 x＝4 2的解为（ ） A．x B．x C．x D．x 【变式2-2】（2023春 甘孜州期末）定义运算“※”：a※b，如果5※x＝2，那么x的值为 ． 【变式2-3】 （2023秋 信都区校级月考）运符号“”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：1． 【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】 解题技巧：裂项相消法： 【题型3 裂项法解分式方程】 【例3】观察下面的变形规律：；；；… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想 ． （2）说明你猜想的正确性． （3）计算： ． （4）解关于n的分式方程． 【变式3-1】（2022春 京口区校级月考）观察下列算式： ，，，…… （1）由此可推断： ； （2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 ； （3）仿照以上方法解方程：． 【变式3-2】（2022秋 五华区期末）观察下列式：1，，． 将以上三个等式两边分别相加的：1． （1）猜想并填空： ； ． ． （2）化简：． （3）探索并作答： ①计算：； ②解分式方程：1． 【变式3-3】（2022秋 天心区校级月考）观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：， （1）猜想并写出： ． （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ． （3）若的值为，求n的值． 【知识点3 换元法解分式方程】 换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系 例解方程： 另（x－y）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。 注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。 【题型4 换元法解分式方程】 【例4】（2023春 平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程． 解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0． 解得y1＝3，y2＝﹣1． 当y＝3时，x2+1＝3， ∴x＝±． 当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解． ∴原方程的解为：x1，x2． 我们将上述解方程的方法叫做换元法， 请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0． 、 【变式4-1】（2023春 松江区期末）用换元法解方程7＝0时，可设y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【变式4-2】（2022春 青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方 ... ...
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