四川省乐山市2024届第三次调查研究考试理科数学试题（含答案）

机密★启用前（考试时间：2024年5月9日下午3：00—5：00） 乐山市高中2024届第三次调查研究考试 理科数学 （本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则集合的元素个数为（ ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（ ） A．2 B． C．10 D． 3．已知，且为第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 5．设，则（ ） A．1 B． C．2024 D． 6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A．20 B．24 C．28 D．32 7．已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（ ） A． B． C． D． 8．在区间上任取一个实数，则使函数存在两个极值点的概率为（ ） A． B． C． D． 9．在中，点是边上靠近点的三等分点，若，，，则（ ） A． B． C． D． 10．若，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 11．在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知，是夹角为的单位向量，若，则实数的值是_____． 14．若关于，的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为_____． 15．函数在区间[0，m]上有且仅有3个零点，则的取值范围是_____． 16．峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．（本小题满分12分） 已知是等差数列的前项和． （1）证明：是等差数列； （2）设为数列的前项和，若，求． 18．（本小题满分12分） 某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 （2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望． 附：（其中）． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（本小题满分12分） 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 20．（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，、分别是椭圆的上下顶点，、分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上， ... ...