2024年中考数学三轮冲刺解答题——解直角三角形及其应用问题（含答案）

2024年中考三轮冲刺解答题 ———解直角三角形及其应用问题 1.（2024年TZ-8共同体一模）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成.图2是其结构示意图，摄像机长AB=20cm,点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD=15cm,AB与CD连接，杆OE⊥AB,OE=10cm,CE=2ED,点C到地面的距离为60cm.若AB与水平地面所成的角的度数为36°. 求显示屏所在部分的宽度CM； 求镜头A到地面的距离.(参考数据：sin36°≈0.588,cos36°≈0.809,tan36°≈0.727,结果保留一位小数) 【解答】∵CD//AB,AB与水平地面所成的角的度数为36°, ∴显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数为36°, 过点C作交点D所在铅垂线的垂线，垂足为M,则∠DCM=36°. ∵CD=15cm; ∴CM=CDcos∠DCM=15×0.809≈12.1(cm), (2)如图，连接AC,作AH垂直MC反向延长线于点H, ∵AB=20cm,O为AB的中点， ∴AO=10cm. ∵CD=15cm,CE=2ED, ∴CE=10cm. ∵CD//AB,OE⊥AB, ∴四边形ACEO为矩形，AC=OE=10cm. ∵∠ACE=90°, ∴∠ACH+∠DCM=∠ACH+∠CAH=90°. ∴∠CAH=∠DCM=40°· ∴AH=AC·cos36°=10×0.809=8.09(cm), ∴镜头A到地面的距离为60+8.09≈68.1cm. （2024年采荷中学3月月考）图1,图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB,点B,F在线段AC上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC=32cm,CE:CD=1:5,DF⊥AC于点F,∠DCF=50°,请根据以上信息，解决下列问题： (1)求水平滑杆DE的长度； (2)求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值(结果保留到1cm).(参考数据：sin50≈0.77,cos50 ≈0.64,tan50°≈1.19). 【解答】（1）于点， ∴在中，， ， ． （2）如图，过点作，交延长线于点， ， 在中，， ． （2024年杭州市西湖区十五中教育集团3月阶段性评估）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角∠CAE,然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自B处测得建筑物顶部的仰角∠CBE.已知测角仪的高度是1.5m. (1)若∠CAE=30°,∠CBE=45°,AB=100m ,计算出该建筑物的高度. (2)若∠CAE=α,∠CBE=β,AB=,计算出该建筑物的高度(用含α,β,的代数式表示) 【解答】(1)设CE=m,则由题意可知BE=m,AE=m., 在Rt△AEC中， 即 ∴ ， 解得, ∴CD=CE+ED=(m). (2)设BE=,CE= 则， ∴ ∴ ∴ ∴CD= 答：该建筑物的高度CD=. （2024年杭州观成教育集团一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离).经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化(包含20°和160°),AD=40cm。 (1)当∠ADC=120°时，求此时BD的长； (2)当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm (精确到0.1cm,sin80°=0.98,cos80°=0.17,tan80°=5.67) 【解答】（1）如图所示，连接AC交BD于点E, ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADB=∠ADC,AB=AD 当∠ADC=120°时，∠ADE=∠ADC=60°, ∴△ADB是等边三角形， ∴BD=AD=40(cm)； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC=2AE,AC⊥BD,∠ADB=∠ADC, 当∠ADC =20°时， 在Rt△ADE中，∠ADB=∠ADC=10°, ∴∠DAC=90°-∠ADB=80°, ∴AE=ADcos80°=40×0.17=6.8cm, ∴AC=2AE=13.6cm. 当∠ADC=160°时， 在Rt△ADE中，∠ADB=∠ADC=80°, ∴AE=ADsin80°=40×0.98=39.2cm, ∴AC=2AE=78.4cm ∴这个千斤顶升高了78.4-13.6=64.8cm, 答：这个千斤顶升高了64.8cm. （2024年宁波甬真卷1号潮卷）如图(1)是小甬在健身器材上进行仰卧起坐锄炼时的情景，图(2)是小甬锻炼时上半身由ON位篮运动到与地面CD垂直的OM位瞋时的示意图，已知AC=0.8米,BD=0 ... ...