中小学教育资源及组卷应用平台 备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用） 专题33 存在性问题 考点扫描聚焦中考 动态几何中的存在性问题是近几年各地中考主要以解答题的形式进行考查，多数题目难度较大，属于压轴题，考查涉及到的知识点涉及三角形基本性质、相似三角形、三角函数、四边形的性质、圆的基本性质等，考查的热点主要有与点、线段有关的存在性问题。 考点剖析典型例题 例（2021 湖州）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长． （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP． （3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 考点过关专项突破 1．（2022 常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”． （1）正方形 ———等形点”（填“存在”或“不存在”）； （2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长； （3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值． 2．（2022 德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 3．（2022 赤峰）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： 【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积； 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由． 4．（2023 青岛）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10cm，BD＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题： （1）当点M在BD上时，求t的值； （2）连接BE．设△PEB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式和S的最大值； （3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．（2022 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OB），tan∠DAB＝，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC﹣CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S． （1）求点C的坐标； （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在点P的运动过程中，是否存在点P ... ...
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