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课件网) 5.5三角恒等变换 第6课时 简单的三角恒等变换(二) 第五章 三角函数 旧知回顾 知识点一 辅助角公式 公式： 其中角所在的象限由, 的符号确定，角的值由确定. 一、辅助角公式的运用 例题1 已知函数的最小正周期为． (1) 求的值； (2) 讨论在区间上的单调性． 【解析】(1)(法一) ． (法二 积化和差) 因为 的最小正周期为 ，且 ，所以 ，即 ． 一、辅助角公式的运用 例题1 已知函数的最小正周期为． (1) 求的值； (2) 讨论在区间上的单调性． 【解析】(2) 由(1)知， . 若 ，则 ． 当 ，即 时， 单调递增； 当 ，即 时， 单调递减． 综上可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减． 反思感悟 方法总结 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将 = sin + cos 转化为 = sin( + )或 = cos( + )的形式，以便研究函数的性质． 新知运用 跟踪训练1 已知函数，． 求的最小正周期； 求在区间上的最大值和最小值． 【解析】(1) 由已知，得 ， 所以 的最小正周期 ． (2) 因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， 且 ， ， ， 所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 二、三角函数的实际应用 例题2 如图5.5-2，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角,C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形. 记，当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 【解析】 在中，，在AD中，所以，，设矩形ABCD的面积为.由所以，所以当，即时，. 反思感悟 方法总结 (1)三角函数与平面几何有着密切的联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题． (2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式． 新知运用 跟踪训练2 如图，有一块以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形，将其开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点， 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点， 的位置，可以使矩形的面积最大，最大值是多少？ 【解析】连接 (图略)，设 ， 则 ， ，且 ． 因为 ， 关于原点对称，所以 ． 设矩形 的面积为 ，则 ．因为 ，所以当 ，即 时， ，此时 ．故当 ， 距离圆心 为 时，矩形 的面积最大，其最大面积是 ． 三、三角函数的简单化解求值 例题3 (1) 化简： (2) (其中 )． 【解析】(1) 原式 . (2) 原式 ， 因为 ，所以 ，故 ， 所以原式 . 反思感悟 方法总结 三角函数式化简的方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“降次升角”和“升次降角”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 新知运用 跟踪训练3 (1) 已知 ，则 的值为_____. (2) 已知, 求的值． 【解析】(1) 根据倍角公式，得 ， ， 所以 . (2)原式 ． 四、三角恒等变换的综合应用 例题4 已知函数． (1) 求函数的最大值及其相应的的取值集合； (2) 若且，求的值． 【解析】(1) ，故 ，所以当 ， ，即 ， 时， ，其相应的 的取值集合为 ． (2) 由题意得 .由 ，得 ，所以 ．因此 ． 反思感悟 方法总结 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤： (1)运用和、差、倍角公式化简; (2)统一化成 的形式; (3)利用辅助角公式化为 ( )= sin( + )+ 的形式，研究其性质. 新知运用 跟踪训练4 (1) 在 中，已知 ，则 _____． 【解析】(1) 由题意得 ，即 ，则 ，又 , ． n 新知运用 跟踪训练4 (2) 已知函数，且． ①求常数的值及的最小值； ②当 时，求的单调递增区间． 【解析】(2 ... ...
