2023-2024学年七年级数学下册题型专练（苏科版）专题7.15 平行线的性质与判定中的三种常用辅助线(原卷版+解析版）

专题7.15 平行线的性质与判定中的三种常用辅助线 【苏科版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线的性质与判定中的三种常用辅助线大题型的理解！ 【题型1 过“拐点”作平行线】 1．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，已知，，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】过点E作，由题意可判定，从而得，再利用平行线性质求解即可． 【详解】如下图，过点E作， ，， ， , 又， ∴， ， , 又， ， ． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理以及证明． 2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点作直线， ∵， ∴_____①_____． ∵， ∴_____②_____． ∵， ∴_____③_____（_____④_____）． ∴． (2)【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为_____． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）过点作直线，根据平行线的性质与判定即可求解； （）过点作直线，同理可得，，则； （）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可； 本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质. 【详解】（1）过点作直线， ∵， ∴ (平行于同一条直线的两条直线平行)， ， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴； 故答案为：；；；两直线平行，内错角相等； （2）如图所示，过点作直线， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 【答案】(1) (2)数量关系：，理由见解析 (3)① ，② 【分析】（1）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）①过点作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）数量关系：， 证明：过点作 ， ， ， ，， ． （3）①过点作 ， ， ， ，， ． 又平分，平分， ， 由（2）可得 ②，理由如下： ：，，， ，， ， ， 故答案为：． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答． 4．（2023下·辽宁鞍山·七年级校考期末）如图1，点A在直线上，点B在直线上，点C在，之间，且满足． (1)证明：； (2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，点E在线段上，连接，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)4 【分析】（1）如图：作，然后根据平行线的性质可得．再结合可得，即，最后根据平行公理即可证明结论； （2）如图：作，设，则．由平行线的性质可得，进而得到；再说明可得；然后根据得到，最后根据等量代换和角的和差即可解答； （3）设，根据，表示出，，，求的值即可． 【详解】（1）证明：如图：作 ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． （2）解：，理由如下： 如图：作， 设，则． ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． （3）解：如图：作， 设， ∵， ∴， ∵， ... ...