中小学教育资源及组卷应用平台 专题01 期末解答压轴题 一、解答题 1．如图1，把一个含45°角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接，取的中点M，的中点N，连接． (1)若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边上，判断与之间的数量关系； (2)若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在的延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由 (3)若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）连接，证明,得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案； （2）连接，由（1）同理可证明结论； （3）连接，连接，设交于，交于，首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题． 【解答】（1）， 证明如下： 四边形是正方形， , , , , , 为的中位线， , ； （2）仍然成立，证明如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 即， ， 为的中点， ， ； （3）如图3，连接， 设交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ， 由题意可知，， 即， 当时， 最小值 当时， 最大值 ， 【点睛】本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 2．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则_____； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)①平行四边形，详见解析；② 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【解答】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：； （2）证明：垂直平分， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； （3）①四边形是平行四边形，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在邻余四边形中，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 由， 四边形是平行四边形； ②如下图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 3．如图，在正方形中，是边上一点，过点作交边于点． (1)求证：； (2)直接写出，与的数量关系； (3)如图，连接． 如图，若，求证：； 如图，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析；． 【分析】（）由四边形是正方形得，，，然后利用同角的余角相等得，证明即可； （）连接，由和线段和差可得，再利用勾股定理即可求解； （）取中点，连接，，证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，从而求解； 延长至，使，设，由四边形是正方形，，得，，，证明，则，，最后由勾股定理即可求解． 【解答 ... ...
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