第1课时 弧长和扇形面积 课时目标 1.理解弧长和扇形面积公式,并会计算弧长、扇形的面积,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.经历探究弧长和扇形面积公式的过程,解决部分与整体的问题,培养学生的探索能力和运用公式解决问题的能力. 3.在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中,感受转化、类比的数学思想. 4.通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题,让学生感受数学与实际生活的联系,激发学习数学的兴趣,提高学习数学的积极性,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 弧长及扇形面积公式的推导过程及运用. 学习难点 运用弧长和扇形面积公式计算组合图形的面积. 课时活动设计 情境引入 在田径200米跑步比赛中,运动员的起跑位置相同吗 为什么 教师通过课件展示图片,提出问题. 解:起跑位置不同,为了保证每个人所跑路程为200米. 在学生回答的基础上,提出每个跑道应该相距多远呢,关键是应该知道这些弯道的“展直长度”,如何计算呢 设计意图:由现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辨证思想,初步感受弧长的作用. 探究新知 我们知道,弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分.想一想,如何计算圆周长 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长 由此出发,1°的圆心角所对的弧长是多少 n°的圆心角呢 分析:在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR,所以1°的圆心角所对的弧长是,即.于是n°的圆心角所对的弧长为l=. 典例精讲 例1 制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算如图所示的管道的展直长度L(结果取整数). 解:由弧长公式,得的长l==500π≈1 570(mm). 因此所要求的展直长度L=2×700+1 570=2 970(mm). 设计意图:由圆的周长和周角的定义分析出1°的圆心角所对的弧长,进而得出n°圆心角所对弧长公式,体现了新旧知识的联系. 教师给出扇形图片,学生观察图片,尝试归纳概念. 扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 思考:由扇形的定义可知,扇形面积就是圆面积的一部分.想一想,如何计算圆的面积 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积 1°的圆心角所对的扇形面积是多少 n°的圆心角呢 分析:在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2,所以圆心角是1°的扇形面积是.于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形=. 比一比:n°的圆心角所对的弧长和扇形面积之间有什么关系 (教师提问,学生讨论交流,得出结论.) S扇形===l·=lR. 典例精讲 例2 如图,圆心角为60°的扇形的半径为10 cm.求这个扇形的面积和周长.(精确到0.01 cm2和0.01 cm) 学生独立思考后师生共同解答. 解:∵n=60,r=10 cm, ∴扇形的面积为S===≈52.36(cm2). 扇形的周长为l=2r+=20+=20+≈30.47(cm). 设计意图:类比弧长公式的研究方法,学生可以自行推倒扇形面积公式并应用,锻炼学生的推理能力. 典例精讲 例3 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m,其中水面高0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 解:连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线,垂足为D,交于点C,连接AC. ∵OC=0.6 m,DC=0.3 m, ∴OD=OC-DC=0.3(m). ∴OD=DC. 又AD⊥DC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°,∠AOB=120°. 有水部分的面积 S=S扇形OAB-S△OAB=×0.62-AB·OD=0.12π-×0.6×0.3≈0.22(m2). 有水的部分实际上是一个弓形,通过例题我们发现,弓形的面积可以通过扇形的面积与相应三角形面积的和或差求得. 设计意图:通过例题总结出弓形的面积. 巩固训练 1.如图,一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧,点O是这段弧所在圆的圆心,半径OA=90 m,圆心角∠AOB=80°,则这段 ... ...
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