课时目标 1.经历探索垂径定理的过程,理解垂径定理的证明过程. 2.会用垂径定理进行简单的证明和计算. 3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系. 学习重点 垂径定理及其应用. 学习难点 探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题. 课时活动设计 复习引入 1.什么是轴对称图形 我们在从前的学习中学过哪些轴对称图形 2.我们所学的图是不是轴对称图形 圆有多少条对称轴 折折看. 设计意图:使学生进一步巩固所学知识,为学习本课内容作铺垫. 探究新知 探究1 垂径定理 请你在半透明的纸上以点O为圆心画一个圆,在☉O中,AB为弦,CD是直径,且CD⊥AB,垂足为E. 将☉O沿CD所在直线对折,重合的线段有哪些 重合的弧有哪些 学生通过动手试验,可以发现:AE=BE,=,=. 通过以上发现,可以得到什么结论 教师引导学生得出结论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 教师指导学生对此结论进行证明. 如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E. 求证:AE=BE,=,=. 证明:如图所示,连接OA,OB. 在△OAB中, ∵OA=OB,OE⊥AB, ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE. ∴=. ∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE, ∴∠AOC=∠BOC. ∴=. 归纳总结垂径定理的概念 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言: 如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,CD⊥AB, ∴AE=BE,=,=. 探究2 垂径定理的推论 如图,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗 与(或与)相等吗 说明你的理由. (2)若=(或=),能判断CD与AB垂直吗 AE与BE相等吗 说明你的理由. 学生自主探究、合作交流. 得到结论:如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且垂直于这条弦. 在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB,=中的一项作为条件,则可得到另外两项结论. 设计意图:让学生通过动手操作,得到垂直于弦的直径的性质,使学生能在具体的图形中理解这一性质.教师提出的问题,学生合作交流,共同分析解答,提高学生合作意识,加深对垂径定理的理解和记忆,总结出垂径定理的推论. 典例精讲 例 如图,CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长. 解:如图所示,连接OA. 设☉O的半径为r. ∵CD为☉O的直径,AB⊥CD,∴AE=BE. ∵AB=8,∴AE=BE=4. 在Rt△OAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42. 解得r=5,从而2r=10.∴直径CD的长为10. 设计意图:让学生通过例题体会方程思想在数学中的应用,同时掌握这一类题型的解题方法.运用垂径定理计算时,常作辅助线构造直角三角形,体会数形结合思想在解题中的应用,提高学生分析问题的能力. 课堂小结 1.垂径定理和推论及它们的应用. 2.垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题. 3.圆中常作辅助线:连半径、过圆心作弦的垂线. 设计意图:通过课堂小结,促进学生将垂径定理的知识内化为自己的认知结构.通过不断的练习和实践,让学生将定理知识转化为自己的数学素养和能力,实现知识的有效转化和应用. 相关练习. 1.教材第165,166页习题A组第1,2,3题,B组第1,2题. 2.相关练习. 28.4 垂径定理 一、垂径定理 二、垂径定理的推论 三、垂径定理应用 教学反思 ... ...
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