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课件网) 第十七章 特殊三角形 17.4 直角三角形全等的判定 1. 探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用. 2. 会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形. 3. 初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力. 回顾旧知 想一想，填一填： 图形 条件 是否能判定三角形全等 三边相等(SSS) 两边和它们夹角相等(SAS) 两角和它们的夹边相等(ASA) 两角和一角的对边相等(AAS) A B C A' B' C' √ √ √ √ 知识点 判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边 1 如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，斜边是_____. C B A AC BC AB 前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ 思考： 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ A B C A' B' C' 全等，AAS 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ A B C A' B' C' 全等，ASA 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ A B C A' B' C' 全等，SAS 4. 如图，两个直角三角形，AB = A′B′ ，AC= A′C′，这两个直角三角形全等吗？如何证明？ B C A B′ C′ A′ 我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等. 由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等.从而，这两个直角三角形一定全等. 因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 证明过程如下： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB = A′B′ ，AC= A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. B C A B′ C′ A′ 证明：在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠C=∠C′=90°， ∴BC2=AB2－AC2， B′C′2=A′B′2－A′C′2(勾股定理). ∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). 总结：直角三角形全等的判定定理： 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. 这个定理可以简写为“斜边、直角边”或“HL”. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中， AB=A′B′, BC=B′C′, ∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL). A B C A′ B′ C′ 仅适合直角三角形. 想一想：你能用几种方法判定两个直角三角形全等 判断直角三角形全等条件 三边对应相等 SSS 一锐角和它的邻边对应相等 ASA 两锐角和一条直角边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS 斜边和一条直角边对应相等 HL 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形全等的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法———HL”. 分析：首先作出边BC，由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A. 例1 已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形. 已知：如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. a c 例1 已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形. 已知：如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. a c 作法： (1)作线段CB=a. (2)过点C，作MC⊥CB. (3)以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A. (4)连接AB. 则△ABC即为所求. B C M A 例2 已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C， D，且PC=PD. 求证：点P在∠AOB的平分线上. A B C D O P 证明：如图，作射线OP. ∵PC⊥OA， PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD( HL). ∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB的平分线上. A B C D O P 这样，我们就证明了角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 在使用“HL”时，应注意: (1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. (2)注意对 ... ...
