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课件网) 第十七章 特殊三角形 17.5 反证法 1. 了解反证法的意义，知道反证法是一种间接证明的方法. 2. 掌握用反证法证明一个命题的步骤，能够用反证法证明命题. 从前有个聪明的孩子叫王戎. 他7岁时,与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子. 小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法 故事导入 知识点 反证法的意义 1 数学中也有很多类似的问题，试一试去证明. 如： 1. 一个三角形中不可能有两个钝角. 2. 一个三角形中最多有一个直角. 如何证明一个三角形中最多有一个直角？ 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能 有一个直角. C A B 证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不 妨设 ∠A=∠B =90°. ∵∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B+∠C >180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. ∴三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角. 归 纳 上面的证明过程，是先假设原命题结论不正 确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证， 最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结 果.因此，假设是错误的，原结论是正确的. 这种证明命题的方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明的方法. 知识点 用反证法证明的步骤 2 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是： 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过 推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的 定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图.直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB，CD交于点G， H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2. 1 2 F C G E D B A H 假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∵∠EGN=∠1，∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)， ∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直 线CD平行. 这与“经过已知直线外一点，有且 只有一条直线和已知直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1=∠2. 证明： 1 2 F C G E D B A H M N 假设命题结论不成立. 推理论证，得出矛盾. 假设不成立，原命题结论成立. 证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B和∠C都不是锐角， 则∠B≥90°，∠C≥90°， ∴∠B＋∠C≥180°. 则该三角形的三个内角的和一定大于180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立， 即∠B和∠C都是锐角． ∴等腰三角形的底角是锐角． 1.用反证法证明等腰三角形的底角是锐角． 已知：在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B和∠C都是锐角． 练 2.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则 a∥b”，第一步应假设( ) A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交 D 例2 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. A B C A' B' C' 假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取C′D=CB，连接A′D. 在△ABC和△A′DC′ 中，∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D，∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∵AB = A′B′ (已知)，∴A′B′ = A′D(等量代换). ∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)， 证明： A B C A' B' ... ...
