中小学教育资源及组卷应用平台 解一元二次方程（直接开平方法与配方法） 知识梳理+考点分类练习 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 【知识点二】一元二次方程的解法--配方法 （1）配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识点三】配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】解一元二次方程（直接开平方法） 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 解：（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点拨】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（ ） A． B．4 C．或4 D．无解 【答案】C 【分析】利用直接开方法求解即可． 解：， 开方得：， 即或， 解得：，. 故选C． 【点拨】本题考查直接开方法，掌握直接开方法是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级下·广东河源·开学考试）方程的根是 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可． 解：∵， ∴或， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键． 【题型2】解一元二次方程（配方法） 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）将常数项移到方程右边，左边化的形式，方程右边小于0，故无解； （2）将方程化为，开平方求解； 解：（1）原方程为， 则， ∴， ∴原方程无实数根； （2）原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴，即，． 【点拨】本题考查配方法求解一元二次方程；根据等式性质，将方程化为是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·山东青岛·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】D 【分析】根据配方法求解一元二次方程的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案. 解：∵ ∴ ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而完成求解． ... ...
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