第16讲 圆幂定理 【归纳初中知识】 在初中我们已经学习了圆的定义、性质，直线与圆的位置关系，这些都是高中学习立体几 何和解析几何的基础， 一、圆的定义 (1)如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，记作“⊙O”,读作“圆O”; (2)在一个平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合.定点叫做圆 心，定长叫做半径， 二、点与圆的位置关系 (1)点在圆外台d>r;(2)点在圆上台d=r;(3)点在圆内台dr 无 无 相切 唯一公共点 d=r 切点 切线 相交 两个公共点 dR+r 个圆的外部 唯一 除公共点外，每个圆上的 外切 切点 d=R+r 公共点 点都在另一个圆的外部 两个 R-rr) 公共点 点都在另一个圆的内部 内含 dr) 一个圆上的点都在另 无 无 (同心圆) (d=0) 个圆的内部 【衔接高中知识】 在初中阶段中我们已经学习了圆以及与圆有关的相似三角形的知识，但很多相关的、有用 的定理，如圆中的相交弦定理、切割线定理等都没有介绍给学生，而这些在高中阶段还有更多 的应用，而且可以简化我们的计算过程.如必修2中的圆与方程，选修2一1中的解析几何等内 容都涉及圆幂定理等相关知识 相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理，它们揭示了与圆有关的线段间的比 例关系.在圆中的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等问题中应用甚广 下图表示定理的图形和内容， PC=PA·PB∈PA·PB=PC,PD点P运动到PA·PB=PC·PDA,B重合于IPS=PA,PB 厨外 C,D重合于SPT=PC·PD (推论) (相交弦定理) (制线定理) (切制线定理) →PT=P.S(PT=PS) (切线长定理) 圆幂定理：过定点的圆的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值 即AP·BP=|OP2-2|(定值)（如下图） 其中：P为⊙O内的点时，AP·BP=2一OP; P为⊙O外的点时，AP·BP=OP2一r 【精讲典型例题】 例1如图，⊙O中，弦CD过弦AB的中点P,PC=2PD,BD 合AB,CD=9cm,求⊙0的半径 分析本例考查了相交弦定理、圆周角定理及勾股定理的逆定理， 解：连接AD. CD-9.PC-}PD.:.PC-3.PD-6. 又PA·PB=PC·PD,PA=PB,.PB=3√2. 又BD=2AB∴BD=3V2. △PBD中，PB=BD=3√2，PD=6, ∴.∠PBD=90°.∴.AD为⊙O的直径第2讲 因式分解 【归纳初中知识】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，它与多项式乘法运算是互逆变 形.在初中我们主要学习了两种因式分解的方法一一提取公因式法与公式法，其中公式法中直 接用公式不超过两次， 方法1.提取公因式法：am十bn=m(a十b). 即将多项式中各单项式相同的数字因数或字母因式提出来进行因式分解的方法. 方法2.公式法：运用乘法公式进行逆推 常见的公式有： (1)a2-b=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3±b3=(a±b)(a2干ab+b2); (4)a3±3a2b+3ab±b3=(a±b)3; (5)a2+b+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2: (6)a3+6+c3-3abc=(a+b+c)(a2+62+c2-ab-ac-bc). 【衔接高中知识】 因式分解是高中学习的一个很重要的数学工具，在高中函数、不等式、数列和解析几何等 学习中都是不可少的内容.初中学习的提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式 分解，到高中是很不够用的，因而为了能很好地进入高中学习，顺利地完成高中学习任务，我们 需要补充一些因式分解的知识和方法， 方 ... ...
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