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课件网) 第二章 直角三角形的边角关系 6 利用三角函数测高 知识点1 测量倾斜角 1.如图,在量角器的圆心O处挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪.量角器的0刻度线AB对准楼顶时,铅垂线对应的读数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是 . 40° 解析 如图,过A点作AC⊥OC于C, ∵∠AOC=50°, ∴∠OAC=40°, 即此时观察楼顶的仰角度数是40°. 故答案为40°. 知识点2 测量底部可以到达的物体的高度 2.(一题多解)如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在 距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO=30°,则 树OA的高度为 . 10米 解析 解法一(三角函数法):在Rt△ABO中,∵BO=30米, ∠ABO=30°, ∴AO=BO·tan 30°=30× =10 (米). 解法二(勾股定理法):∵在Rt△ABO中, ∠ABO=30°,∴设AO=x米,AB=2x米,∴302+x2=(2x)2, ∴x=10 ,即AO=10 米. 3.(情境题·革命文化)(2022湖北襄阳中考)位于岘山的革命烈 士纪念塔是襄阳市的标志性建筑,是为纪念“襄樊战役”中 牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳 的解放事业献身的革命烈士而兴建的.某校数学兴趣小组利 用无人机测量革命烈士纪念塔的高度,无人机在点A处测得 塔顶部点B的仰角为45°,塔底部点C的俯角为61°,无人机与塔 的水平距离AD为10 m,求革命烈士纪念塔的高度.(结果保留 整数.参考数据:sin 61°≈0.87,cos 61°≈0.48,tan 61°≈1.80) 解析 由题意得∠BAD=45°,∠DAC=61°, 在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AD=10 m, ∴BD=AD=10 m, 在Rt△ACD中,∠DAC=61°, ∴CD=AD·tan 61°≈10×1.80=18 m, ∴BC=BD+CD=10+18=28(m). ∴革命烈士纪念塔的高度约为28 m. 知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度 4.(教材变式·P52活动三)(2024陕西咸阳一模)我国历史悠久, 有许多伟大建筑,其中西安城墙是中国现存规模最大、保存 最完整的古代城垣.某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建 筑到地面的高度,该小组在城墙外的D处安置测角仪CD,测得 该建筑顶端A的仰角为45°.从D处后退12 m到达F处,安置测 角仪EF,测得该建筑顶端A的仰角为30°(点B,D,F在同一直线 上),测角仪支架的高CD=EF=1.5 m,且AB⊥BD,CD⊥BD,EF ⊥BD,求该建筑顶端A到地面的高度AB.(结果保留根号) 解析 如图,连接EC并延长,交AB于点G. 由题意可得四边形CDFE和四边形CDBG均为矩形, ∴CE=DF=12 m,BG=CD=EF=1.5 m,∠AGE=90°. 设AG=x m,在Rt△ACG中,∠ACG=45°, ∴CG=AG=x m, ∴EG=CE+CG=(12+x)m. 在Rt△AEG中,∠AEG=30°, ∴tan∠AEG= = =tan 30°= , ∴x=6 +6, ∴AB=AG+BG=6 +6+1.5= (m), ∴该建筑顶端A到地面的高度AB为 m. 5.(情境题·国防教育)(2023山东烟台莱阳期中改编)中国的社 会主义国家性质,走和平发展道路的战略抉择,独立自主的和 平外交政策,“和为贵”的中华文化传统,决定了中国始终不 渝奉行防御性国防政策.如图,某大楼上竖立着一块国防政策 的宣传牌,宣传牌的高CD=3 m,小亮和小伟要测量宣传牌底 部D到水平地面的距离(DH的长),小亮在水平地面A处安置 测倾器,测得宣传牌底部D的仰角为22°,小伟在水平地面B处 安置测倾器,测得宣传牌顶部C的仰角为45°,两人合作量得测 倾器的高度AE=BF=1.2 m,测点A和测点B之间的距离为9 m, 已知点A、B、H在同一直线上,请根据以上信息,求宣传牌底 部D到水平地面的距离.(参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈ 0.93,tan 22°≈0.40) 解析 如图,延长EF交CH于点G,易知EG⊥CH. 由题意得EF=AB=9 m,AE=BF=GH=1.2 m. ∵∠CFG=45°,∴∠FCG=45°,∴FG=CG. 设FG=CG=x m,∴DG=CG-CD=(x-3)m. 在Rt△EDG中,∠EGD=90°,∠DEG=22°, EG=EF+FG=(9+x)m, ∴DG=EG·tan 22°, ∴x-3≈(9+x)×0.40, 解得x≈11. ∴DG=11-3=8(m). ∴DH=DG+GH=8+1.2= ... ...
