福建省部分优质高中2024-2025学年高一暑期优学模拟质量检测数学试题（PDF版含答案）

2024 年福建省部分优质高中新高一年级暑期优学学业质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C A D D C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项 中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分。 注意：全部选对的得 6 分，第 9、10 题选对其中一个选项得 3分，第 11 题选对 其中一个选项得 2 分。有错选的得 0分。 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12． 1 13．29 14 13． 4 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15．（本题满分 13分，第一小题 6分，第二小题 7分） 解：（1）因为 = 3 ≤ < 6 ， = 2 < < 9 ， 则 ∩ = 3 ≤ < 6 ， 可得 = | ≤ 2或 ≥ 9 ， 所以 ∪ = | ≤ 2或 3 ≤ < 6或 ≥ 9 . （2）因为 ∪ = ，可知 ，且 ≠ ， ≥ 2 可得 + 1 ≤ 9，解得 2 ≤ ≤ 8， 所以实数 a 的取值范围为 |2 ≤ ≤ 8 . 16．（本题满分 15分，第一小题 5分，第二小题 10分） 解：（1）当 = 2时， = 5 < < 1 ， 则 ∪ = 2 < < 8 ∪ 5 < < 1 = { | 5 < < 8}； （2）因为 = 2 < < 8 ，8 2 = 10， ∩ = < < ，且 = 3， ①当 ∩ = 时，则 + 3 2 1 = 3，解得 = 1， 此时 = 1 < < 4 ，此时 ∩ = 1 < < 4 ，满足题意； 第 1 页 共 3 页 ②当 ∩ = 2 1 < < 8 时，有 8 2 1 = 3，解得 = 3， 则 = 5 < < 6 ，此时 ∩ = 5 < < 6 ，不满足题意，舍去； ③当 ∩ = 2 < < + 3 时，有 + 3 2 = 3，解得 = 2， 此时 = 5 < < 1 ， ∩ = 2 < < 1 ，满足题意． 综上，实数 m 的值为 2或 1． 17．（本题满分 15分，第一小题 5分，第二小题 10分） 解：（1）命题 : ∈ ，不等式 2 2 + 4 + 7 > 0 恒成立，为真命题， 则Δ1 = 16 8 7 = 8 40 < 0，解得 < 5，即实数 的取值范围为 ∞,5 . （2）命题 : ∈ ，使 2 2 + + 2 < 0 成立， 当 为真命题时Δ2 = 4 2 4 + 2 = 4 2 4 8 > 0， 即 4 + 1 2 > 0，解得 < 1或 > 2， ∴ ∈ ∞, 1 ∪ 2, + ∞ . 当命题 , 中恰有一个为真命题时， < 5 ① 为真命题， 为假命题，即 1 ≤ ≤ 2，所以 1 ≤ ≤ 2； ② 为假命题， ≥ 5为真命题，即 ∈ ∞, 1 ∪ 2, + ∞ ，所以 ≥ 5； 综上可得： ∈ 1,2 ∪ 5, + ∞ . 18．（本题满分 17分，第一小题 8分，第二小题 9分） 1 解：（1） = ≤ 2 ≤ 32 = 2,5 4 因 > 0，则 = 2 2 + , ∈ R = 2 ,2 + . 当 = 3时， = 1,5 ，所以 ∩ = 1,5 . （2）因“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集. > 0 > 0 所以 2 ≤ 2 ≥ 4 ∈ 4, + ∞ ，经检验“=”满足. 2 + ≥ 5 ≥ 3 所以实数 m 的取值范围是 4, + ∞ . 第 2 页 共 3 页 19．（本题满分 17分，第一小题 5分，第二小题 12分） 解：（1）因为 > 0, > 0, + = 1， 2 + 3 = ( + )( 2 + 3 ) = 5 + 3 + 2 所以 ≥ 5+ 2 3 × 2 = 5 + 2 6， 3 = 2 当且仅当 ，即 = 6 2, = 3 6时取等号， 所以 + 的最小值是 5 + 2 6． 2 2 2 2 2 2 （2） 2 2 = ( 2 2) × 1 = ( 2 2)( ) = 2 + 2 ( 2 2 2 + 2 )， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 2 + 2 ≥ 2 2 2 = 2 ，当且仅当 2 = 2 时等号成立， 2 2 + 2 ( 2 2 2 所以 22 + 2 ) ≤ + 2 2 ≤ 2 + 2 2 = ( )2， 2 2 2 2 2 2 2 所以 ≤ ( ) ，当且仅当 2 = 2 且 , 同号时等号成立． 2 2 此时 , 满足 2 = 1. 2 3 = 3 5 = 2 3 5 ≥ 0（ ）令 ， ，由 2 ≥ 0 得 ≥ 2， 2 2 = 3 5 2 = 2 3 > 0， 又 > 0, > 0，所以 > ， 2 2 构造 2 2 = 1， 2 2 由 2 3 2 = 1 ，可得 1 = 1，因此 2 ... ...