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课件网) 湘教版 八年级上 第5章 二次根式 练素养 3.比较含二次根式式子的大小的八种方法 名师点金 含二次根式的数(或式子)的大小比较，是教与学的一个 难点，如果能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采 用不同的方法，将会得到简洁的解法.较常见的比较方法有 平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、 倒数法、定义法和特殊值法. 方法1 平方法 1. 比较 ＋ 与 ＋ 的大小. 【解】∵( ＋ )2＝17＋2 ，( ＋ )2＝17＋ 2 ，且17＋2 ＞17＋2 ，∴( ＋ )2＞ ( ＋ )2. 又∵ ＋ ＞0， ＋ ＞0， ∴ ＋ ＞ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 方法2 作商法 2. 比较 与 的大小. 【解】 ÷ ＝ ＝ ＜1.易知 ＞0， ＞0. ∴ ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 方法3 分子有理化法 3. 比较 － 与 － 的大小. 【解】∵ － ＝ ＝ ， － ＝ ＝ ，且 ＋ ＞ ＋ ＞0，∴ ＜ ，即 － ＜ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 方法4 分母有理化法 4. 比较 与 的大小. 【解】∵ ＝2＋ ， ＝ ＋ ，且2＋ ＞ ＋ ，∴ ＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 方法5 作差法 5. 比较3－ 与 －2的大小. 【解】∵3－ － ＝3－ － ＋2＝5－2 ，而5－2 ＝ － ＞0， ∴3－ ＞ －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 方法6 倒数法 6. 已知 x ＝ － ， y ＝ － ，试比较 x ， y 的大小. 【解】 ＝ ＝ ＞0， ＝ ＝ ＞0. ∵ ＋ ＞ ＋ ＞0，∴ ＞ ＞0. ∴ x ＜ y . 1 2 3 4 5 6 7 8 方法7 定义法 7. 比较 与 的大小. 【解】∵5－ a ≥0，∴ a ≤5.∴ a －6＜0. ∴ ＜0.又∵ ≥0， ∴ ＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 方法8 特殊值法 8. 若0＜ x ＜1，请用“＜”号连接 x ， ， x2， ： . 【点拨】 取特殊值 x ＝ ，则 ＝4， x2＝ ， ＝ .∴ x2＜ x ＜ ＜ . x2＜ x ＜ ＜ 1 2 3 4 5 6 7 8(
课件网) 湘教版 八年级上 第5章 二次根式 练素养 2.二次根式化简的五种常用方法 名师点金 化简二次根式的常用技巧 1. 把被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方； 2. 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数； 3. 若被开方数中含有小数，应先将小数化为分数； 4. 若被开方数是多项式，则先进行因式分解. 方法1 直接应用二次根式的性质法则化简 1. [母题教材P165习题T2]把下列二次根式化成最简二 次根式： (1) ； (2) . 【解】(1) ＝ ＝ ＝ . (2) ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 方法2 根据字母的取值应用法则化简 2. 化简： (1) ÷( －3 )·(－3 )( a ＞0， b ＞0)； 【解】原式＝ b · ·3 ＝ b ＝ b ＝2 ab . 1 2 3 4 5 (2) ÷ · ( a ＞ b ＞0). 【解】原式＝ · · ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 方法3 根据隐含条件化简含有字母的二次根式 3. [2024·北京十一中期中]化简( m －1) 的结果是 ( B ) A. B. － C. D. － 1 2 3 4 5 ∴ m －1＜0， ∴ m －1＝－ ， ∴原式＝－ · ＝－ ＝ － ＝－ . 【点拨】 ∵－ ＞0， B 【答案】 1 2 3 4 5 方法4 分类讨论化简含有字母的二次根式 4. (1)设 x ， y 为非零数，试求 ＋ 的值； 1 2 3 4 5 【解】当 x ， y 同号时，①当 x ＞0， y ＞0时，原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝1＋1＝2；②当 x ＜0， y ＜0时， 原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－1＝－2.当 x ， y 异号时，①当 x ＞0， y ＜0时，原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝1－1＝0；②当 x ＜0， y ＞0时，原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1＋1＝0. 综上可知，原式的值是2或－2或0. 1 2 3 4 5 (2)化简： － . 【解】 － ＝｜1－ x ｜－ ＝｜1－ x ｜－｜ x －4｜.当 x ＜1时，原式 ＝(1－ x )－(4－ x )＝－3；当1≤ x ≤4时，原式＝( x － 1)－(4－ x )＝2 x －5；当 x ＞4时，原式＝( x －1)－( x －4)＝3. 综上可知，原式＝ 1 2 3 4 5 方法5 利用类比的方法化简复合二次根式 5. ... ...
