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课件网) 冀教版 数学 八年级 上 16.3 角的平分线 第十六章 轴对称和中心对称 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解并掌握角平分线的性质定理. 2.理解并掌握角平分线性质定理的逆定理. 3.会用尺规作图的方法作角平分线. 掌握角平分线的性质定理及逆定理. 熟练对定理进行应用. 问题引入 角是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，对称轴是哪条直线？角的平分线有哪些性质？这些都是我们需要学习研究的内容. 问题 B A C A D C（B） A D C B 发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 新知探究 一起探究 知识点1 角平分线的性质定理 在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？ 思考 如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？ 证明你的猜想. 猜想：PC = PD ∵OP平分∠AOB，（已知） ∴∠AOP =∠BOP.（角平分线定义） 又∵PC⊥OA，PD⊥OB，（已知） ∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义） 在△PCO和△PDO中， ∴△PCO≌△PDO. (AAS) ∴ PC = PD . 下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明： ∠AOP =∠BOP , (已知) ∠PCO =∠PDO , (已证) OP = OP , (公共边) 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 做一做 知识点2 角平分线的性质定理的逆定理 （1）写出角平分线的性质定理的逆命题. （2）根据这个逆命题的内容，画出图形. （3）结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想. （4）设法验证你的猜想. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD＝QE （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义） 角平分线性质定理的逆定理 到角的两边距离相等的点在角平分线上. 知识点3 作已知角的平分线 例题示范 例 如图，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 作法：如图. （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E. （2）分别以点D，E为圆心，适当长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C. （3）作射线OC. 射线OC即为所求. 随堂练习 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF. ∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE. 在△DCF和△DEB中, 证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC. ∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF. DC=DE , ∠C=∠BED , FC=EB , A B C P 2.如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （1）求△APB的面积； （2）求 PDB的周长. ·AB·PD=28. 解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB, 由角平分线的性质，可知，PD=PC=4， （2）在Rt△APC和Rt△APD中， PC=PD，AP=AP， ∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)， ∴ AC＝ AD = BC. A B C P D 3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC. 求证：点O在∠BAC的平分线上. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上. （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB于E，且 PE=3，求AD与BC之间的距离. 拓展提升 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 ... ...
