2024年北京大学中学生数学夏令营试题（PDF版无答案）

2024 年北京大学夏令营 第一天 1. 给定正整数 n，称 {1, 2, · · · , n} 的子集 X 为好的，如果 X 中不存在互不 相同的 a, b, c，使得 a + b = c；称好集合 A 为极大的，如果不存在好集合 B，使 得 A ( B. 求证：对 n > 1，至少存在 [2n/4] 个不同的极大的好集合. 2. 在锐角 △ABC 中，∠A 是最小的内角，O 为外心，H 为垂心. 设点 S, T 满 足四边形 BSCT 是矩形，且 ST ∥ AO. 设 D 是 A 关于 O 的对称点，点 P 满 足 A 在 △PBC 内，且 ∠SPH = ∠TPD. 求证：∠PBA = ∠PCA. 3. 设 F 是 {1, 2, · · · , n} 的一些子集组成的子集族，记 |F| = 2α, α ∈ R. 设正整 数 β 满足：对 F 中任意两个不同元素 A,B，有 |A△B| ≥ β. (a) 若另外要求对 F 中任意两个元素 A,B 有 A ∪B ∈ F，求证：α · β ≤ n； (b) 若另外要求对 F 中任意两个元素 A,B 有 A△B ∈ F，求证：对充分大 的 n，存在 F 使得 α 和 β 都大于 0.01n. 4. 设无理数 α ∈ (1, 2). 数列 {xn} 满足 x0 = 0, x1 = 1, x2 = α，接下来的每项 都大于前一项，与之前的某两项依照次序组成等差数列，且为满足这两个条件的最 小数，即 xn+1 = min{x | x = 2xj xi(0 ≤ i < j ≤ n), x > xn}, n ≥ 3. 求所有的实数 C，使得对每个正整数 n，均有 xn ≤ C 成立. 1 {#{QQABQSQYa0U4ogAYogAJIASAACBJ4gKCUUQFUYICAQOmQQkkAIAhALAeSggkGx RAADAOIMAARALBAAZBNNAABBIAA=A}#=}}#} 2024 年北京大学夏令营 第二天 5. 设 m× n 棋盘上每个位置只能下一粒棋子，A,B 两人轮流按如下规则下棋： (a) A 执白先下，A 每次选择一个空位下一粒白棋，并选择水平或垂直. (b) 若 A 选择水平，B 可以在 A 下白棋的位置左侧或右侧相邻的空位下一粒黑 棋，也可以不下；若 A 选择垂直，B 可以在 A 下白棋的位置上方或下方相邻的空 位下一粒黑棋，也可以不下. (c) 棋盘下满游戏结束. A,B 的目标都是尽可能下更多棋. 求最大的正整数 K，使得 B 有策略在 m× n 棋盘上至少能下 K 粒棋子. 6. 是否存在无穷多个(奇素数 p，使得∑p 1 )4 2 ∑p 1( )x 3x + 3 x4 + 3x2 + 3 = ( ) p px=0 x=0 · 其中 是勒让德符号. p 7. (a) 求证：在单位圆上可以找到 30 个互不相同的点，使得其中任意两点之间 的距离都是分母不超过 2024 的分数. (b) 求证：(a) 中的 30 不能改为 120. 8. 考场版本：对平面上 n 个不同点，最少多少组三点共线可以保证所有点共 线？ 正确版本：平面上有 n 个点 A1, A2, · · · , An（可以重合），至少需要多少个三 元组 (i, j, k)(1 ≤ i < j < k ≤ n)，才能使得当每组点 Ai, Aj , Ak 均共线时，必 有 n 个点全都共线？（若三个点中至少有两个重合，则认为这三个点共线） 2 {#{QQABQSQYa0U4ogAYogAJIASAACBJ4gKCUUQFUYICAQOmQQkkAIAhALAeSggkGx RAADAOIMAARALBAAZBNNAABBIAA=A}#=}}#}