中小学教育资源及组卷应用平台 23.2 解直角三角形及其应用 导学案 （一）学习目标： 1.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； 2.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形； 3.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题. （二）学习重难点： 重点：会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 难点：会利用解直角三角形，解决简单的实际问题。 阅读课本，识记知识： 知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， 三边之间的关系：.（勾股定理） ∠A＋∠B＝90° 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 知识点二 解直角三角形在实际问题中的应用 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 3.解直角三角形的常见类型 仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 知识点三 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 知识点四 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 【例1】如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，求出，则，求出，分别求出当时，当时的的度数，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴，则； 当时， ∴， ∴，则； ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，以及各个特殊角度的锐角三角函数值． 【例2】 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ． 故则这栋楼的高度为． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的 ... ...
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