云南大学附属中学星耀学校2023—2024学年（上）期末考试 高一数学答案 一、单选选择（每题5分，共8题，总分40） 1-5：ADCAC 6-8: BCD 二、多项选择(每题5分，共4题，每题多选0分，每题漏选2分，总分20分) 9.AC 10.BD 11.CD 12.ABC 三、填空题（每空5分，共4空，总分20分） 13. 14. 15. 16. 四、解答题（70分） 17.（10分） （1）； （2） 18. （12分） 一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和的费用分别为万元和万元. （1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则仓库到车站的距离（单位：）应该在什么范围？ （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值. 解：（1）设，，由题知：当时，和的费用分别为万元和万元， 即，解得，所以，. 若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则： ，因为，即，解得. （2），因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，的最小值为万元. 19.（12分） 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为,，为正三角形. （1）求的值； （2）化简并求值. 解：（1）， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为，所以圆为单位圆，由三角函数定义得. （2）. ， 由（1）知：，， 所以. 20. （12分） 已知函数的相邻两条对称轴的距离为，且的图象过点. （1）求的解析式和单调增区间； （2）在中，若，求的最大值. 解：（1）由题知：，所以，即，因为，所以.因为的图象过点，所以，解得，，.因为，所以，所以.令， 解得：，. 所以的单调增区间为. （2），即，因为，所以. ， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以的最大值为. 21.（12分） 已知函数是定义域上的奇函数． （1）求实数的值； （2）若，证明：函数有唯一零点． （1）解：因为函数是定义域上的奇函数， 则，即，所以，， 所以，，则，因为，所以，，此时，函数. 由可得，解得，即函数的定义域为， ， 所以，函数是定义域为的奇函数，合乎题意， 综上所述，.（改卷说明：使用特殊值法求解时需要验证必要性） （2）解：由（1）可得， 由， 可得，其中， 令，则，整理可得， 令，则二次函数的对称轴为直线，且， 所以，函数在上单调递增， 因为，，则， 所以，函数在上存在唯一零点， 因此，函数有唯一零点. 22. （12分） 已知函数且. （1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若，设，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 解：（1）由题知：，，所以为奇函数. 设，， 因为，所以，所以，因为，所以. 所以在上单调递增. ， 因为在上单调递增，所以，因为，所以恒成立， ，当且仅当时，即时，. 所以，即.（备注：函数单调性判定也可以用两个增函数相加为增函数进行判定，没有用定义证明单调性不扣分。） （2），解得，， 因为对任意的，总存在，使得， 所以在上的值域是在上值域的子集. 设在上的值域为集合， 由（1）知在上单调递增，，值域为， 所以. 函数的对称轴为， 当时，，，即 所以，解得. 当时，，，，因为， 所以，解得. 当时，，，， 所以，解得. 综上所述：.云南大学附属中学星耀学校2023—2024学年（上）期末考试 高一数学试卷 （考试时长：120分钟 总分：150分） 班级 _____ 姓名 _____ 学号 _____ 成绩 _____ 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实。 学生签名：_____ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（ ） 2. 命题的否定是（ ） 3 ... ...
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