3.6　弧长及扇形面积的计算 分层练习（含答案） 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

二十四　弧长及扇形面积的计算 【A层 基础夯实】 知识点1　弧长公式及应用 1.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示,是一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则的长为 (B) A.20π cm　 B.10π cm　 C.5π cm　 D.2π cm 2.数学课上,老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心、AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是　1　. 3.如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交☉O于点F. (1)AB与AC的长度有什么关系 请说明理由; (2)若AB=8,∠BAC=45°,求图中的长. 【解析】(1)AB=AC,理由如下: 如图,连接OD, ∵OA=OB,BD=CD, ∴OD是△ABC的中位线, ∴OD∥AC, ∴∠ACB=∠ODB, 又∵OB=OD, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠OBD=∠ACB, ∴AB=AC; (2)∵OD∥AC,∠BAC=45°, ∴∠BOD=∠BAC=45°, ∵AB=8,可得半径为4, ∴的长为=π. 知识点2　弧长、扇形公式的综合应用 4.(2023·鄂州中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O为BC的中点,以O为圆心,OB长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是 (C) A.5-π 　 B.5-4π C.5-2π　 D.10-2π 5.(2023·泰安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为4,连接OB,OC,OA,若∠CAO=40°,∠ACB=70°,则阴影部分的面积是 π　. 6.(2024·嘉峪关期末)如图,一根5 m长的绳子,一端拴在90°的围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动),求小羊在草地上可活动区域的面积.(结果保留π) 【解析】如图,大扇形的圆心角是90°,半径是5 m. 所以大扇形的面积为×π×52=(m2), 小扇形的圆心角是180°-120°=60°, 半径是5-4=1(m), 则小扇形的面积为×π×12=(m2), 所以小羊在草地上的可活动区域的面积为+=(m2). 【B层 能力进阶】 7.如图,在半径为6 cm的☉O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3 cm;③扇形OCAB的面积为12π cm2;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是 (D) A.①③　 B.①②③④ C.②③④　 D.①③④ 8.(2022·恩施州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,☉O为Rt△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为(结果保留π)　5-π　. 9.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 π　cm(结果用含π的式子表示). 10.如图,半圆O的直径AB=2,弦CD∥AB,∠CAD=30°, (1)求弦CD的长; (2)求阴影部分的面积(结果保留π). 【解析】(1)连接OC,OD, ∵∠CAD=30°,∴∠COD=2∠CAD=60°, ∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∴CD=OC, ∵半圆O的直径AB=2,∴OC=1,∴CD=1. (2) ∵CD∥AB, ∴S△OCD=S△ACD, ∴S阴影=S扇形OCD, ∵S扇形OCD==, ∴S阴影=. 【C层 创新挑战（选做）】 11.(运算能力、推理能力、几何直观)(2023·河北中考)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH. 计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长. 操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2.其中,半圆弧的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D. 探究:在图2中. (2)操作后水面高度下降了多少 (3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小. 【解析】(1)连接OM, ∵O为圆心,OC⊥MN于点C,MN=48 cm, ∴MC=MN=24 cm, ∵AB=50 cm,∴OM=AB=25 cm, 在Rt△OMC中, OC===7(cm); (2)∵GH与半圆的切点为E, ∴OE⊥GH, ∵MN∥GH, ∴OE⊥MN, ∵∠ANM=30°,ON=25 cm, ∴OD=ON= cm, ∴操作后水面下降的高度为-7=(cm); (3)∵OE⊥MN于点D,∠ANM=30°, ∴∠DOB=60°, ∵半圆 ... ...