第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 1.掌握一元二次方程的定义及其相关概念,并会应用它们解决问题. 2.经历由具体问题分析数量关系建立一元二次方程模型的过程,体会数学建模思想. 3.通过设置问题,得出一元二次方程概念的过程,提高学生建立模型的能力. 4.发展学生问题能力、实践能力与创新意识. 重点:一元二次方程及其有关概念. 难点:把实际问题转化为一元二次方程的模型. 一、创设情境 问题1 已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm,现在矩形中挖去一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程(其中π取3) 问题2 据某市交通部门统计,前年该市汽车拥有量为75万辆,两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 二、探索归纳 问题1 师生活动:教师引导,学生思考 1.剩余部分的面积是多少 解:200×150× 2.挖去的圆的半径为x cm,剩余部分的面积如何表示 解:200×150-3x2 3.等量关系是什么 解:矩形的面积—圆的面积=矩形的面积× 4.如何列方程 解:列出方程:200×150-3x2=200×150× 5.化简整理,得到右边为0,而左边是只含有一个未知数的方程 解:x2-2 500=0 问题2 师生活动:教师引导,学生思考 1.等量关系是什么 等量关系:两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长量) 2.如何列方程 列出方程:75(1+x)2=108 3.化简整理,得到右边为0,而左边是只含有一个未知数的方程 25x2+50x-11=0 利用多媒体展示问题1和问题2所列出的两个方程 师:请同学们观察由问题1和问题2所列出的两个方程:x2-2 500=0 25x2+50x-11=0 回答: 1.观察这两个方程的结构特点,它们的未知数的个数和最高次数各是多少 它们有什么共同点 2.这两个方程与一元一次方程有什么区别 由此,你能得到关于一元二次方程的特征吗 3.根据这个特征,你能给一元二次方程下个定义吗 (生:思考中.师:板书课题.) 结论: 一元二次方程的概念 定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫作一元二次方程.(师:板书一元二次方程的定义) 师:根据这个定义,我们能识别一元二次方程吗 (多媒体展示例题,并引导学生完成例题的解答.) 例1:判断下列方程哪些是一元二次方程 (1)3x2+4x-2=0; (2)x2-2x+3=6x-1; (3)7-x3=x+x2; (4)x2-2xy-4=0. 引导学生根据一元二次方程的定义判定. 师:我们知道一元一次方程的一般形式是ax+b=0(a≠0),那么一元二次方程的一般形式是什么呢 (师引导生回答出一元二次方程的一般形式并板书.) 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0) 其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 师:在一元二次方程的一般形式中,为什么要将a限定为a≠0 师:假如给你一个一元二次方程,该怎样确定它的系数及常数项呢 (多媒体展示例2并板书例2的解答过程) 例2:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(师引导学生完成解答过程) 三、交流反思 引导学生归纳一元二次方程有三个特点: (1)只含有一个未知数; (2)且未知数的最高次数是2; (3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. 四、检测反馈 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A.+=1 B.(x+2)(x-3)=x2+1 C.(x+1)(x2-x+1)=x3-x2 D.(2x2-1)2-1=0 2.方程(m-2)x|m|+(m-3)x+5=0 (1)当m=_____时,是一元二次方程. (2)当m=_____时,是一元一次方程. 3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)9x2=5-4x (2)(2-x)(3x+4)=3 4.根据题意列出一元二次方程:已知直角三角形的三边长为连续整数,求它的三边长. 五、布置作业 ... ...
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