1.4 二次函数与一元二次方程的联系 1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系. 2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系. 3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根. 4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 5.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想. 重点:理解二次函数与一元二次方程的联系,以及求一元二次方程的近似根. 难点:一元二次方程与二次函数的综合应用. 一、创设情境 同学们!还记得什么是一元二次方程 什么是二次函数吗 它们之间有怎样的联系呢 1.从关系式上看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么 2.观察二次函数y=x2-2x-3的图象,你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗 二、探索归纳 1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 问题: (1)根据图象所示,二次函数y=x2-2x-3的图象与x 轴的交点坐标是什么 (2)解方程:x2-2x-3=0 (3)你有什么发现 师生活动: 师:多媒体出示问题. 生:小组合作完成问题. 生:二次函数y=x2-2x-3的图象与x 轴的交点坐标分别是 (-1,0), (3,0) . 生:由交点坐标可知, 当x=-1时, y=0,即x2-2x-3=0,也就是说, x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根. 生: 同理,当x=3 时,y=0, 即x2-2x-3=0, 也就是说,x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根. 总结:一般地, 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x= x1,x=x2. 2.抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 问题:观察二次函数y=x2-6x+9 ,y=x2-2x+2 的图象(如图),分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和 x2-2x+2=0 的根的情况. 分析: 二次函数y=x2-6x+9的图象与x 轴有_____个交点,其坐标是_____,而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实根:_____. 二次函数y=x2-2x+2的图象与x 轴_____交点,而一元二次方程x2-2x+2=0 _____实数根. 结论:一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的位置关系有三种: 有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点,这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况:有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系. 3.利用二次函数的图象解一元二次方程 例1:求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1). 师:抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标与方程x2-2x-1=0的根有什么关系 生:相等. 师:作出抛物线y=x2-2x-1的图象. 生: 作出二次函数y= x2-2x-1的图象,如图所示: 生:通过观察或测量,可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4. 师:一元二次方程x2-2x-1=0的根是什么 生:一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4或x2≈2.4. 例2:如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线y=-x2+x+运行,其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度. (1)当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是多少 (2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m,它离初始位置的水平距离是多少 (3)铅球离地面的高度能否达到3 m 为什么 总结:求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y= 0 时,自变量x 的值,也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标,因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察的误差,由图象求得的根,一般是近似的. 三、交流反思 通过本节的学习,我们进一步理解掌握二次函数与一元二次方程的联系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.培养学生通过合作交流解决问题的能力. 四、检测反馈 1.观察函数的图象,完成填空: (1)抛物线与x轴有_____个交点, 它们的横坐标是_____; (2)当x取交点的横坐标 ... ...
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