14.1.2 直角三角形的判定 同步练（含答案）2024-2025学年数学华东师大版八年级上册

　直角三角形的判定 【A层 基础夯实】 知识点1　勾股定理的逆定理 1.(2024·宜宾质检)如图,小亮家的木门左下角有一点受潮,他想检测门是否变形,准备采用如下方法:先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C间的距离,由此可推断∠B是否为直角,这样做的依据是(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.勾股定理 B.三角形内角和定理 C.勾股定理的逆定理 D.直角三角形的两锐角互余 2.(2024·成都期末)下列各组数中,不能构成直角三角形三边的是(C) A.7,24,25　　 B.9,12,15 C.1,,3　　 D.0.3,0.4,0.5 3.如图,以△ABC的三边向外作正方形,依次得到的正方形的面积为36,64,100,则△ABC的面积是　24　. 4.如图,AD是△ABC的中线,若AB=13,BC=10,AD=12,则AC=　13　. 5.一个三角形三边长分别为15,20,25,则三角形的面积为　150　. 6.(2024·西宁期末)如图,在△ABC中,D是BC上的一点,AC=4,CD=3,AD=5,AB2=80. (1)求证:∠C=90°; 【解析】(1)∵AC2+CD2=42+32=25,AD2=52=25, ∴AC2+CD2=AD2, ∴△ACD是直角三角形,且∠C=90°; (2)求BD的长. 【解析】(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴BC==8, ∴BD=BC-CD=8-3=5. 7.如图是一块四边形木板,其中AB=16 cm,BC=24 cm,CD=9 cm,AD=25 cm,∠B=∠C=90°.李师傅找到BC边的中点P,连结AP,DP,发现△APD是直角三角形,请你通过计算说明理由. 【解析】∵点P为BC的中点, ∴BP=CP=BC=12 cm,∵∠B=90°, 在直角△ABP中,根据勾股定理可得,AB2+BP2=AP2,即162+122=AP2, 解得AP=20 cm,同理可得DP=15 cm, ∵152+202=252,∴DP2+AP2=AD2, ∴△APD是直角三角形,∠APD=90°. 知识点2　勾股数 8.下列数中,能组成一组勾股数的是 (B) A.0.5,1.2,1.3 B.9,12,15 C.,, D.32,42,52 9.(2023·十堰期末)古希腊哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.你认为正确吗 如果正确,你能利用这个结论得出一些勾股数吗 【解析】正确.理由: ∵m表示大于1的整数, ∴a,b,c都是正整数,且c是最大的数, ∵(2m)2+(m2-1)2=(m2+1)2, ∴a2+b2=c2,即a,b,c为勾股数. 当m=2时,可得一组勾股数3,4,5(答案不唯一). 【B层 能力进阶】 10.若△ABC的三边长分别为a,b,c,则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的 有(C) ①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5; ③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.(易错警示题·忽略分类讨论遗漏情况)已知两条线段的长分别为3 cm、4 cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长为(D) A.1 cm　 B. cm C.5 cm　 D.5 cm或 cm 12.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是(B) A.30° B.45° C.60° D.90° 13.如图所示,在四边形ABCD中,AB=5,BC=3,DE⊥AC于E,DE=3,S△DAC=6, 则∠ACB的度数为　90°　. 14.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系(a2-c2+b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为　等腰直角三角形　. 15.观察下列各组勾股数的组成特点, 第1组:3=2×1+1,4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1; 第2组:5=2×2+1,12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1)+1; 第3组:7=2×3+1,24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1; 第4组:9=2×4+1,40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1)+1; …; 第7组:a,b,c. (1)写出第7组勾股数a,b,c各是多少. 【解析】(1)∵第1组:3=2×1+1,4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1, 第2组:5=2×2+1,12=2×2×(2+1), 13=2×2×(2+1)+1, 第3组:7=2×3+1,24=2×3×(3+1), 25=2×3×(3+1)+1, 第4组:9=2×4+1,40=2×4×(4+1), 41=2×4×(4+1)+1,∴第7组勾股数是a=2×7+1=15,b=2×7×(7+1)=112, c=2×7×(7+1)+1=113,即15,112,113; (2)写出第n组勾股数,并证明. 【解析】(2)由(1)的规律可知,第n组勾股数是2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1. 证明:∵(2n+1)2=4n2+4n+1, [2n(n+1)]2=(2n2+2n)2=4n4+4n ... ...