三十七 圆周角和圆心角的关系(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1 圆周角定理的推论 1.(教材开发·P23“随堂练习T2”拓展)有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心.暂时只能用一块足够大的直角三角板(无刻度)可以使用.为此同学们需要先得到两条不同的直径,下列寻找直径AB的方法正确的是(B) 2.如图,☉O的直径AB=10 cm,C为☉O上的一点,∠B=30°,则AC的长为(D) A.4 cm B.5cm C.5cm D.5 cm 3.(2023·枣庄山亭区一模)如图,AB是☉O的直径,C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为 110° . 4.(2022·湘潭中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD. (1)求证:△AEC∽△DEB; (2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径. 【解析】(1)∵∠C=∠B,∠AEC=∠DEB, ∴△AEC∽△DEB; (2)∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°, ∵AB是☉O的直径,AD=3, ∴∠ADB=90°, ∴AB=6,∴☉O的半径为3. 知识点2 圆周角定理的应用 5.如图,海边有两座灯塔A,B,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,O为圆心,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A,B的张角∠APB的最大值为 40° . 6.一个海港在范围内是浅滩,为了使深水船只不进入浅滩,需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠XPY,把它与已知的危险角(上任意一点Z与两个灯塔所成的角∠XZY)相比较,航行中保持∠XPY小于∠XZY.你知道这样做的道理吗 【解析】如图: 设的圆心为O,当船的位置点P在圆O外部不会进入浅滩,理由如下: 连接PO交☉O于Z',则∠XZY=∠XZ'Y. ∵∠2是△PZ'X的外角,∠4是△PZ'Y的外角, ∴∠2>∠1,∠4>∠3, ∴∠2+∠4>∠1+∠3, ∴∠XZ'Y>∠XPY, 即∠XPY<∠XZY. ∴只要船航行保持∠XPY小于∠XZY也就保证船只不会进入浅滩. 【B层 能力进阶】 7.如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第30秒时点E在量角器上对应的度数是(B) A.60° B.120° C.90° D.80° 8.☉P经过坐标原点O,分别与x轴、y轴交于点A、点B,点C是☉P位于第一象限部分上的一点,如图,若点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),则cos∠OCA的值为(B) A. B. C. D. 9.如图,BC是☉O的直径,A是☉O外一点,连接AC交☉O于点E,连接AB并延长交☉O于点D.若∠A=30°,则∠DOE是 120 度. 10.如图,AB是圆O的直径,==,AC与OD交于点E.如果AC=3,那么DE的长为 . 11.(教材开发·P22“例”拓展)(2024·淄博周村区质检)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交AC于点E. (1)求证:点D是BC的中点. (2)记的度数为α,∠C的度数为β.探究α与β的数量关系. 【解析】(1)如图,连接AD, ∵AB是☉O的直径,点D在圆上, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BC, ∵AB=AC,∴BD=CD, 即点D是BC的中点; (2)β-α=45°. 如图,连接OE, ∵的度数为α,∴∠AOE=α, ∵OA=OE,∴∠OAE=, ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠CAD=∠OAE=45°-α, ∵∠CAD+∠C=90°, ∴45°-α+β=90°,即β-α=45°. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(2022·呼和浩特中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交线段CA的延长线于点E,连接BE. (1)求证:BD=CD; (2)若tan C=,BD=4,求AE的长. 【解析】(1)连接AD, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∵AB=AC,∴BD=DC; (2)∵BD=DC=4,∴BC=DB+DC=8, 在Rt△ADC中,tan C=, ∴AD=CD·tan C=4×=2, ∴AC===2, ∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°, ∵∠AEB=∠ADC=90°,∠C=∠C, ∴△CDA∽△CEB,∴=, ∴=,∴CE=, ∴AE=CE-AC=,∴AE的长为.三十七 圆周角和圆心角的关系(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1 圆周角定理的推论 1.(教材开发·P23“随堂练习T2”拓展)有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心.暂时只能用一块足够大的直角三角板(无刻度)可以使用.为此同学们需要先得 ... ...
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