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课件网) 江苏省丹阳高级中学 卢杰 数 形 结 合 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 方法精要 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决． 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化． 典例剖析 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 题型二 数形结合在函数中的应用 题型三 数形结合在不等式中的应用 题型四 数形结合在解析几何中的应用 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 例1 方程sin πx＝ 的解的个数是_____． 破题切入点 把方程根的问题转化为两个函数y＝sin πx和y＝ 的图象的交点问题，借助图象观察函数有几个交点，方程的根的个数也就明确了.熟练掌握函数图象，并准确作图是应用数形结合思想解决问题的关键. 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点， 答案 7 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 题型二 数形结合在函数中的应用 例2 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 破题切入点 解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象；解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m的取值范围． 题型二 数形结合在函数中的应用 解 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0， ∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)； 题型二 数形结合在函数中的应用 解 (2)∵f(x)在x＝－1处取得极值， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1， f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. 题型二 数形结合在函数中的应用 因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 结合如图所示f(x)的图象可知： m的取值范围是(－3,1)． 题型三 数形结合在不等式中的应用 破题切入点 先根据题意，画出可行域，再根据目标式的几何意义求解． 解析 画出不等式组 题型三 数形结合在不等式中的应用 答案 2 题型三 数形结合在不等式中的应用 题型四 数形结合在解析几何中的应用 例4 已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值． 解 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋ 4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时， 破题切入点 在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值． 当点P从左上、右下两个方向向中间运动时， S四边形PACB变小， 显然，当点P到达一个最特殊的位置， 即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值， 题型四 数形结合在解析几何中的应用 题型四 数形结合在解析几何中的应用 精题 ... ...
