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课件网) 二次函数的解析式 【例1】 已知函数f(x)＝ax2＋a2x＋2b－a3，当x∈(－2,6)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，f(x)<0，且f(0)＝48，求f(x)． 二次函数的表示方法有三种：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－b)2＋c(a≠0)；交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．根据条件可任选一种来表示二次函数．本题采用了交点式．根据题目条件，也可以采用顶点式，因为x＝－2或6是f(x)＝0的两个根，所以x＝2是其对称轴方程， 【变式练习1】 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m的取值范围． 二次函数的零点分布 【例2】 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围． 二次函数的零点分布也即二次方程实根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号(根据图象判断)；若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含一个方面，即区间端点的函数值的符号(根据图象判断)． 【变式练习2】 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围． 定二次函数在动区间上的最值 【例3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值记为g(t)． (1)求g(t)的解析式； (2)求g(t)的最大值 【解析】(1)对区间[t，t＋1](t∈R)与对称轴x＝2的位置关系进行讨论： ①当t＋1<2，即t<1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上递增， 此时g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； ②当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上先增后减， 此时g(t)＝f(2)＝3； 定二次函数在动区间上的最值，一般是对区间与对称轴的位置关系进行讨论，讨论要按照顺序，不重复，不遗漏． 【变式练习3】 已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_____ 【解析】利用函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的图象，知实数a的取值范围是(1,3]． (1,3] 动二次函数在定区间上的最值 【例4】 已知f(x)＝(4－3a)x2－2x＋a(a∈R)，求f(x)在[0,1]上的最大值． 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴，本题是这一类； ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 【变式练习4】 已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值． 【解析】根据对称轴x＝a与区间[0,1]的关系讨论： ①当a<0时，[f(x)]max＝f(0)＝1－a＝2，所以a＝－1； ②当0≤a≤1时，[f(x)]max＝f(a)＝2，无实数解； ③当a>1时，[f(x)]max＝f(1)＝a＝2，所以实数a的值是－1或2. 二次函数综合应用 【例5】 二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－p－5在区间[－1,1]上至少存在实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围． 【解析】只需函数f(x)的图象从[－1,1]上穿过(或f(x)>0(－1≤x≤1)恒成立)，等价条件是f(－1)>0或f(1)>0. 因为f(－1)＝4＋2(p－2)－p－5＝p－5>0，或f(1)＝4－2p＋4－p－5＝3－3p>0， 所以p∈(－∞，1)∪(5，＋∞)． 本题考查二次函数及其图象的综合分析能力，解答中，表面上看，只研究了函数图象从[－1,1]上穿过，并没有讨论图象与x轴无交点的情况．事实上，函数图象若与x轴无交点，由于图象开口向上，所以在[－1,1]上每一点c都有f(c)>0.本题可用间接法求解，若在[－1,1]上不存在c使f(c)>0，则在[－1,1]上所有的点x，使f(x)≤0， 【变式练习5】 若函数f(x)＝(m－2)x2－4mx＋2m－6的 ... ...
