人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.8等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】(学生版+解析)

专题13.8 等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】 【人教版】 【题型1 作中线构造三线合一模型】 1 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 2 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 4 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 5 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 6 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 8 【题型7 旋转构造等腰三角形】 9 方法点拨：作中线构造三线合一模型 遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。 【题型1 作中线构造三线合一模型】 【例1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【变式1-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，点在上，且连接，，若，，则的大小是( ) A. B. C. D. 【变式1-2】（23-24春·山东泰安·八年级统考期末）如图，中，，平分，且求证：． 【变式1-3】（23-24春·河南南阳·八年级统考期末）如图，四边形中，，平分，，求证：． 方法点拨：作垂线构造三线合一模型 遇等腰三角形，常作底边上的高，构造三线合一的模型解题。 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 【例2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，在中，平分，是上一点，，且． (1)如果，则的度数为 (2)求证：． 【变式2-1】（23-24八年级·四川自贡·期末）如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且． (1)若，垂足为，求证：； (2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，点D在AB上，AD = AC，BE⊥直线CD于E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD = 2BE； （3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系． 【变式2-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，是直线上一点（点不与点、重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点． (1)如图，当点为线段上的任意一点时，用等式表示线段、、的数量关系，并证明； (2)如图，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图，猜想线段、、的数量关系是否发生改变，并证明； (3)如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、之间的数量关系． 方法点拨：构造等腰（直角）三角形 在同一个三角形中证明两线段相等或垂直时，往往构造等腰（直角）三角形，运用三线合一来解决问题。 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 【例3】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( ) A. B. C. D. 【变式3-1】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积为_____． 【变式3-2】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，是等腰直角三角形，是其底边上的高，是上的一点，以为边向上作等边三角形，连接，则的度数为 ． 【变式3-3】（23-24春·安徽亳州·八年级统考期末）如图，在中，，、为内的两点，平分，，若，，则的长为_____； 如图，，，则的度数为_____． 方法点拨：作平行线构造等腰三角形 作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的平行线也可得等腰三角形。 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 【例4】（23-24八年级·河南开封·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点 ... ...