人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.4二次函数与一元二次方程【九大题型】(学生版+解析)

专题22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】 【人教版】 【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】 2 【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】 2 【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】 3 【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】 4 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】 5 【题型6 图象法解一元二次不等式】 6 【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】 8 【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】 10 【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】 11 知识点1：二次函数与一元二次方程 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为 ． 【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ． 【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ． 【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】 【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限． 【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ） A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6 【变式2-3】（23-24九年级·云南曲靖·期末）已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点. (1)求k的取值范围 (2)若抛物线的图象经过点，求k值． 【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】 【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过M两点，与x轴交于点N． (1)点N（ ， ）； (2)若抛物线与抛物线C关于y轴对称，求抛物线的解析式； (3)若抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为A，（点A在点的左边） ①求：的值； ②判断抛物线的顶点，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由． 【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m． (1)求抛物线与x轴两交点间的距离； (2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式． 【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ． 【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长． (1)求抛物线的雅礼弦长； (2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围； (3)设，为正整数，且 ... ...