北师大版2024-2025学年八年级数学上册强化提分系列专题1.1探索勾股定理【十大题型】(含解析)

专题1.1 探索勾股定理【十大题型】 【北师大版】 【题型1 由勾股定理求线段长度】 1 【题型2 由勾股定理求面积】 2 【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】 3 【题型4 勾股定理的证明方法】 4 【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】 6 【题型6 以弦图为背景的计算】 7 【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】 8 【题型8 勾股树】 10 【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】 11 【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】 12 知识点1：勾股定理 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的和等于的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 【题型1 由勾股定理求线段长度】 【例1】（23-24·山东淄博·八年级期末）如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，中，，，． (1)直接写出的长度_____． (2)设点P在上，若．求的长； 【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（　　） A．80米 B．100米 C．102.5米 D．100.5米 【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，是的中线，，，，则的长度为 ． 【题型2 由勾股定理求面积】 【例2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，，中边上的高等于的长度，中边上的高等于的长度，中边上的高等于的长度，且，的面积分别是10和8，则的面积是（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2-1】（23-24八年级·天津·专题练习）在中，，，，则的面积为 ． 【变式2-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期中）在中，已知，若，，则面积为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ． 【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】 【例3】（23-24八年级·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）在中，，，则（ ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【变式3-2】（23-24八年级·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ． 【题型4 勾股定理的证明方法】 【例4】（23-24八年级·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【变式4-1】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且． (1)求证：； (2)四边形的形状是 ； (3)若，请借助图中几何图形的面积关系来证明． 【变式4-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ (1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_____， 方法2：四边形的面积_____， 因为这两种方法都表示四边 ... ...