27.2.2 相似三角形的性质及其运用（知识解读+达标检测）（含答案） 2024-2025学年九年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

27.2.2 相似三角形的性质及其运用 【考点 1 利用相似三角形的性质求解】 【考点 2 利用相似求坐标】 【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】 【考点 5 相似三角形--动点问题】 【考点 6 相似三角形的综合问题】 知识点 1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质 2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质 3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽ ，则 由比例性质可得： 图一 性质 4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二， ∽ ，则 分别作出 与 的高 和 ， 1 S BC AD 1 × k × B C ×k × A D 则 △ABC = 2 = 21 1 =k 2 S △A B C B C × A D B C × A D 2 2 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点 3 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD C 2．BC2＝BD·AB b h a AC2＝AD·AB A BC 2 BD q D p B 很容易推出： 2 = ． c AC AD AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． 1 1 1 2 = ．BC AC 2 CD2 AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母 a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： a2 p ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ 2 = ；⑤ ab＝ch ；b q ⑥ a2＋b2＝c2 1 1 1 ；⑦ 2 2 = 2 ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．a b h 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在 a、b、c、p、q、h 这六个量中，已知两个量就可求 出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角 三角形的基本条件：斜边大于直角边 【考点 1 利用相似三角形的性质求解】 【典例 1】如图， △ ∽△ ， = 2， = 3， = 4，那么 的值等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据 △ ∽△ ，得出 = ，然后再代入数据求值 即可． 【详解】解：∵ △ ∽△ ， ∴ = ， 3 2 即 = 4， 解得： = 6． 故选：B． 【变式 1-1】如图， △ ∽△ ′ ′ ′， 和 ′ ′分别是 △ 和 △ ′ ′ ′的高，若 = 2， ′ ′ = 3， 则 △ 与 △ ′ ′ ′的面积的比为（ ） A．4:9 B．9:4 C．2:3 D．3:2 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”．根据相似三角形的性质 可直接得出结论． 【详解】解：∵ △ ∽△ ′ ′ ′， 和 ′ ′分别是 △ 和 △ ′ ′ ′的高， = 2， ′ ′ = 3， ∴ 其相似比为2：3， ∴△ 与 △ ′ ′ ′的面积的比为4:9； 故选：A． 【变式 1-2】若 △ ∽△ 2 1 1 1，且 ＝3．若 △ 的面积为 8，则 △ 1 1 1的面积是（ ）1 1 8 A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关 键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵ △ ∽△ 2 1 1 1，且 ＝ ．1 1 3 2 ∴ △ = = 4 △ 1 1 1 1 1 9 ∵ △ 的面积为 8， ∴ △ 1 1 1的面积为 18， 故选：D． 【变式 1-3】如图， △ 和 △ 1 1 1是以点 为位似中心的位似图形，点 在线段 1上，若 : 1 = 1:2，则 △ 和 △ 1 1 1的周长之比为（ ） A．1:2 B．2：3 C．1：3 D．3：1 【答案】C 【分析】根据位似变换的概念得到 △ ∽△ 1 1 1， ∥ 1 1，得到 △ ∽△ 1 1，根据相似 三角形的性质求出 ，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．本题考查的是位似变换的概1 1 念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解： ∵ : 1 = 1:2， ∴ : 1 = 1:3 ... ...