专题2.3 等腰三角形的性质定理六大题型（一课一讲）2024-2025八年级上册数学同步讲练【浙教版】（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 2.3等腰三角形的性质定理六大题型（一课一讲） 【浙教版】 题型一：利用等腰三角形的性质求角度 【经典例题1】如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于．由折叠性质可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：等边， ，， ，， ， 由折叠性质可得， ，， ， ， ， ， 故答案为：A． 【变式训练1-1】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A．72 B．68 C．75 D．80 【答案】A 【分析】由作图法可得MN是AB的垂直平分线；利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠DBA=36°，进而求得∠BDC，最后由三角形内角和为180°便可解答． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，三角形的内角和定理；解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【变式训练1-2】如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得，，由，，可求，由三角形外角性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是边上的中线， ，， ， ，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 【变式训练1-3】如图，在中，，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，，可证，从而得出； （2）由，得，则，而，所以，从而求得的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 的度数是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形内角和等知识，解题的关键是证明． 【变式训练1-4】如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、于点、，连接，． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质可得，，进而证得结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和的度数，再根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）∵在中，，是边上的中线， ∴，， ∴是的垂直平分线． ∵点在上， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． （2）∵，是边上的中线，， ∴， ∴， ∵ ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练1-5】如图，以△ABC的两边AC，BC为边分别向外作△ADC和△BEC，使得∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∠D＝∠E． (1)求证：△ADC≌△BEC． (2)若∠CAD＝60°，∠ABE＝110°，求∠ACB的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）通过∠BCD＝∠ACE得到，再根据ASA即可求证； （2）由（1）可得，，从而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠BCD＝∠ACE ∴ 在△ADC和△BEC中 ∴△ADC≌△BEC（ASA） （2）解：由（1）可得， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质． 题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度 【经典例题2】如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题 ... ...